8.6.3平面与平面垂直课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 第八章 立体几何初步 问题引入 观察右图，当空间中两个平面相交时，其有不同的相对位置关系，类似于 利用角研究空间中两直线不同的位置关系，我们引入二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系. 新知探索 二面角的概念 1.定义：从一条直线出发的 所组成的图形. 2.相关概念： (1)这条直线叫做二面角的 ； (2)两个半平面叫做二面角的 . 3.画法： 两个半平面 棱 面 4.记法：二面角 或 或 或P－AB－Q. α－l－β α－AB－β P－l－Q 新知探索 二面角的概念 观察右侧动图， 可以怎样刻画一个二面角的大小？ 新知探索 二面角的平面角 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O， 以点O为垂足，在半平面α和β内 分别作垂直于棱l的射线OA和OB， 则射线OA和OB构成的∠AOB 叫做二面角的平面角. B β α l A O ①与点O的位置有关吗？为什么？ ②范围：0°≤α≤180°. ③直二面角：平面角是直角的二面角. 空间角转化为平面角 新知探索 两个平面垂直的概念 两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角， 那么这两个平面互相垂直. 记作： . α⊥β 新知探索 两个平面垂直的判定定理 工人师傅在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面是否与地面垂直，你能从中得到什么结论？ 文字语言 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 图形语言   符号语言 l⊥α， ⇒α⊥β 垂线 l⊂β 新知探索 两个平面垂直的判定定理 可由线面垂直 证明面面垂直 典例精析 题型一：二面角的概念及大小的计算 例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小. 解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角. 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°， 即二面角P－BC－A的大小是45°. 例2 在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C. 若AB=6，BC=3，则二面角α-l-β的平面角的大小为________.  解 如图，延长AC交l于D，连接BD， 因为AB⊥β，所以AB⊥l. 因为BC⊥α，所以BC⊥l， 因为AB∩BC=B，所以l⊥平面ABC. 则∠ADB为二面角α-l-β的平面角或补角. 因为AB=6，BC=3， 所以∠BAC=30°，所以∠ADB=60°， 所以二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°. D 典例精析 题型二：平面与平面垂直的判定 例3　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD， 求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC. 例4 图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. 证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE. 证明 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG， 故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面. 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE. 文字 符号 图形 新知探索 两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 由面面垂直 可得线面垂直 典例精析 题型三：平面与平面垂直性质定理的应用 例5 α，β，γ表示平面，a，b表示直线，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则A.∀b⊂β，b⊥γ B.∀b⊂β，b∥γ C.∃a⊂α，a⊥γ D.∃a⊂α，a∥γ 解 设β∩γ=l，根据面面垂直的性质定理， 只有β内与l垂直的直线b才与γ垂直.