8.6.2直线与平面垂直课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 第八章 立体几何初步 问题引入 观察旗杆与地面的关系， 给我们以线面垂直的形象. 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在 地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在的直线AB与其影子所在直线是否保持垂直？与地面内其它的直线能否垂直？ C A B 新知探索 直线与平垂直的概念 定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 有关概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ，它们惟一的公共点P叫做_____ 图示   画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 任意一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足 垂 线 段 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. P O PO为垂线段， 其长度为点P到面α的距离. α 新知探索 直线与平面垂直的判定定理 线面垂直⇔直线与平面内 所有直线都垂直 如何判定直线和平面垂直呢？ 翻折三角形纸片试一试. α A B C D A B C D C A B D D 文字语言 一条直线与一个平面内的 都垂直， 则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， ＝P⇒l⊥α 图形语言   a∩b 两条相交直线 定理体现了“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化 典例精析 题型一：直线与平面垂直的判定定理的应用 例1 如图，三棱锥D-ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥ DC，BC=DC，E为BD的中点. 求证：BD⊥平面ACE. 证明 因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC=C， 所以AC⊥平面BCD， 又BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC， 又BC=DC，E为BD的中点. 所以BD⊥CE， 又AC∩CE=C，所以BD⊥平面ACE. 例2　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明 (1)∵AB为⊙O的直径， ∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M， ∴AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. 新知探索 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面α ，但不和平面α ，图中_______   斜足 斜线和平面的 ，图中_____ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 和 _____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为_________ 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中________ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____ 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，____________ 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 直线AO ∠PAO 90° 0° 0°≤θ≤90° 典例精析 题型二：求直线与平面所成的角 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 解　∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 解　连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1， BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 又∵∠A1OB＝90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 例4 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，若AB=BC=BB1，∠ABC =90°，求CC1与面BC1D所成角的正弦值. 解 过点C作CH⊥C1D交C1D于点H， 由于三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱. CC1⊥平面A