8.5.2直线与平面平行 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5.2 直线与平面平行 第八章 立体几何初步 问题引入 D A B C A B 门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？这二者是什么关系？ 将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在转动过程中(AB离开桌面)，DC的对边AB与桌面有 公共点吗？这二者是什么关系？ 新知探索 直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. a b 定理表明，可以通过直线间的平行，得到直线与平面平行. 这是处理空间关系的一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）. 典例精析 题型一：直线与平面平行的证明 例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面． 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别AB，AD的中点. 求证：EF//平面BCD． 证明 设三角形BCD所在的平面为α，连接BD. 因为E，F分别AB，AD的中点， 所以AE=EB，AF=FD, 所以 EF//BD（三角形中位线的性质） 因为EF平面BCD，BD平面BCD 由直线与平面平行的判断定理得EF//平面BCD. D F E A B C 4 例2 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中CA=CB，D，E分别是AB，B1C的中点. 求证：DE∥平面ACC1A1. 证明 方法一：连接BC1，AC1， 因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱， 所以四边形BCC1B1为平行四边形， 由平行四边形性质得点E也是BC1的中点， 因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1， 又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1， 所以DE∥平面ACC1A1. 方法二：连接A1C，AC1交于O，连接OE， 则O是A1C的中点，又E是B1C的中点， 所以OE∥A1B1，OE=A1B1， 又AD∥A1B1，AD=A1B1， 所以OE∥AD，且OE=AD 所以四边形ADEO是平行四边形， 所以AO∥DE， 因为AO⊂平面ACC1A1，DE⊄平面ACC1A1， 所以DE∥平面ACC1A1. 新知探索 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线a与一个平面α平行， 那么这条直线a与平面α内的所有直线都无公共点，即平面α内的 直线与平面外的直线a只有平行和异面这两种关系.那么在什么样的条件下，平面α内的直线与直线a平行呢？ a α 新知探索 直线与平面平行的性质定理 一条直线和一个平面平行， 如果过该直线的平面与此平面相交， 那么该直线与交线平行． a b  β 证明：∵a//α， ∴直线a与平面α没有公共点. 又∵α∩β=b，∴b α 且b β. ∴直线a与直线b没有公共点. 又∵a  β且b  β， ∴a//b. 已知： a // α ，a  β且  ∩ β =b. 求证： a // b．　 性质定理揭示了直线与平面 平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法. 典例精析 题型二：直线与平面平行性质定理的应用 例3 有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′． (1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开， 在木料表面应该怎样画线？ (2)所画的线和平面AC有什么位置关系？ D′ A′ B′ C′ C B D A P F E 解 (1)如图，在平面A′C′内，过点P 作直线 EF， 使EF//B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F． 连接BE，CF，则EF，BE，CF 就是应画的线． (2)因为棱BC平行于平面A′C′， 平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以，BC//B′C′． 由(1)知，EF//B′C′，所以EF//BC， 又BC面AC，EF面AC， ∴EF//平面AC. BE，CF显然都与平面AC相交． 例4 如图，A、B、C、D在同一平面内，AB//平面α，AC//BD， 且AC， BD与α分别交于点C，D. 求证: AC=BD. 证明 连接CD， A、B、C、D在同一平面内 设该平面为β，则α∩β=CD. ∵AB//平面α， AB  β ∴AB//CD ∵AC//BD ∴四边形ABDC是平行四边形 ∴AC=BD. D A B C α β 10 例5 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面. 如图，已知直线a、b，平面α，且a//b，a//α，aα， bα. 求证：b//α. a b α c 证明 过直线a作平面 β，使它与平面 α 相交，设交线为c. 因为a//α，a 所以a//c. 又因为a//b，所以b//c. 而c 所以b//α. β 典例精析 题型三：判定定理与性质定理的综合应用 例6　如图所示，在