2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与三角形 1．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标； (3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BMQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），直线BC的解析式为y＝x＋3 (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标； (3)在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，将抛物线向左平移1个单位，记平移后C、E的对应点分别为，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使以C’、E’、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接． （1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式． （2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标． （3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标． 5．如图，二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），直线y＝2x﹣2与x轴、y轴交于点D，E． （1）求该二次函数的解析式． （2）判断△ABE是否为直角三角形，说明理由． （3）点M为该二次函数图象上一动点． ①若点M在图象上的B，C两点之间，求△DME的面积的最大值． ②若∠MED＝∠EDB，求点M的坐标． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C（0， 3），顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设P是抛物线位于第二象限的图像上一点，且使ΔAPC的面积最大，求此时APC的面积的最大值和P点的坐标． （3）设点Q是y轴上一点，且使ΔADQ为直角三角形，求出满足此条件的点Q的坐标． 7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣4，0），C（1，0），B（0，3）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形； （3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）； ①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由； ②试求出此旋转过程中，的最小值． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 9．如图①，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P和点N，若以B，P，N为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点M的坐标； （3）如图②，点M′（0，k）在射线BO上自由运动，过点M′垂直于y轴的直线与直线AB交于点Q，与y轴右侧的抛物线交于点N′，若三个点M′，Q，N′中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M′，Q，N′三点为“和谐点”．请直接写出使得M′，Q，N′三点成为“和谐点”的k的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，已