2023年九年级数学中考复习 相似三角形综合

2023年九年级数学中考复习 相似三角形综合 新定义 1．新定义：对于给定的一条线段，若其端点分别在一个三角形的两边上，且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”． （1）等边三角形的“半似位线”的条数为 　　条． （2）如图①，在中，，，．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点运动．设运动时间为秒 ①求的长；（用含的代数式表示） ②当为的“半似位线”时，求的值． （3）如图②，在中，，若的“半似位线”有5条，直接写出边的取值范围． 2．如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边． 例如：若中，，则为以边为底边的倍角三角形． 问题提出 （1）已知为倍角三角形，且． ①如图1，若为的角平分线，则图中相等的线段有 　　，图中相似三角形有 　　； ②如图2，若的中垂线交边于点，连接，则图中等腰三角形有 　　． 问题解决 （2）如图3，现有一块梯形板材，，，，，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，且为以为底边的倍角三角形．工人师傅在这块板材上的作法如下： ①作的中垂线交于点； ②在上方的直线上截取，连接并延长，交于点； ③连接，得． 请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的想法． 是否存在其它满足要求的？若存在，请画出图形并求出的长；若不存在，请说明理由． 3．读一读 动态几何的问题背景往往是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置；要抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合，以不变应万变． 研一研 给出一个新的定义：顶角相等且顶角的顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． 探索发现：（1）如图①，若和互为“兄弟三角形”， ，，则　　（填“”或“”或“” ； 迁移应用：（2）如图②，和互为“兄弟三角形”， ，，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分． 拓展延伸：（3）如图③，若是等边三角形，点为边下方一动点，且满足，连接，试探究线段、、之间的数量关系，并证明． 4．定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形． （1）初步理解：如图1，四边形中，对角线平分，，求证：和为叠似三角形； （2）尝试应用：在（1）的基础上，如图2，若，，，求四边形的周长； （3）拓展提高：如图3，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且．若，，求的值． 5．定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题： （1）如图1，中，是角平分线，且，求证：是倍角三角形； （2）如图2，已知是倍角三角形，且，，，求的长； （3）如图3，已知中，，，，求的长． 6．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是 　　； （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长； （3）如图3，在中，，，的面积为，点是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 7．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，已知在正方形网格中，请你在网格中找到一点，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（找出1个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分． 求证：是四边形的“相似对角线”； （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ，连接，若的面积为，求的长． 8．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在与中，，，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接，，则称为“关联比”． 下面是小颖探究“关联比”与之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： （1）当与为“关联等腰三角形”，且时， ①在图2中，若点落在上，则“关联比” 　　； ②在图3中，探究与的关系，并求出“关联比” 的值． （2）如图4，当与为“关联等腰三角形”，且， ①“关联比”