2023年全国高中数学联赛新疆赛区预赛试题

10 2023 年新疆预赛 一、填空题(每小题 8 分,共计 64 分) 1. 对于数列 {an},记 bn = an+1−an,则数列 {bn} 为数列 {an} 的 阶差数列,记 cn = bn+1− bn, 则数列 {cn} 为数列 {an} 的二阶差数列.以此类推,可得到数列 {an} 的 p 阶差数列.若 {an} 的 p 阶差数列是非零常数列,则称数列 {an} 为 p 阶等差数列.已知数列 {an} 是二阶等差数列, a10 = 23, a20 = 23,且二阶差数列 {cn} 中,cn = 20,则 a30 = . 2. 在 △ABC 中,M,N 分别是线段 AB,AC 上的点,且 AM = 1 2 AB,AN = 1 3 AC,E,F,G 是 线段 BC 上的三个动点,且 » AE + » AF + » AG = x » AM + y » AN(x, y ∈ R),则 2 x + 3 y 的最小值是 . 3. 如图,在四棱锥 P − ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥ 平面 ABCD,PA = PB = 2, AD = 6,点 M,N 分别在棱 AB,BC 上.当空间四边形 PMND 的周长最小时,二面角 P−MN−D 的余弦值为 . 4. 若对任意的 x ∈ (0,+∞),不等式 aeaex+a ≥ ln(ex+1) 恒成立,则 a 的取值范围是 . 5. 函数 f(x) = … x4 16 + x2 2 + 1 + … x4 16 − 4x+ 8 的最小值为 . 6. 在 △ABC 中,a, b, c 分别为三个内角 A,B,C 对应的三边,若 7b2+25c2−25a2 = 0.试求 A−C 取得最大值时,sin(2A− C) = . 7. 已知非零数列 {an} 满足 a1 = 1,a2 = 3,an(an+2− 1) = an+1(an+1− 1),n ∈ N∗.则 C02023a1+ C12023a2 + C22023a3 + · · ·+ C20232023a2024 的值为 .(用整数指数幂表示) 8. 设 A 是任意 个 7 元实数集合,令集合 B = {xy | x, y ∈ A 且 x ̸= y},记集合 B 中元素个数 为 |B|,则 |B|max + |B|min = . 21 10 2023 年新疆预赛 二、解答题(第 9 题满分 16 分,第 10 题、第 11 题满分 20 分,共计 56 分) 9. 已知向量 »a = (sinx, 2 cosx), »b = ( √ 3 cosx− sinx, cosx),函数 f(x) = 2 »a · »b − 1. (1) 若方程 f2(x)− (m+ 3)f(x) + 3m = 0 在 [0, π] 上有四个不同的实数根,求 m 的值. (2) 是否同时存在实数 a 和正整数 n,使得函数 h(x) = f(x)− a 在区间 [0, nπ] 上恰有 2023 个零 点?若存在,请求出所有符合条件的 a 和 n 的值;若不存在,请说明理由. 10. 已知椭圆 C:y 2 a2 + x2 b2 = 1(a > b > 0)的离心率为 1 2 ,上下焦点为 F1, F2,右顶点为 D.过 F1 做垂直于 DF2 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且 |BD| − |AF1| = 8 √ 3 39 . (1) 求 |AD|+ |BD| 的值. (2) 过 A,B 做椭圆 C 的两条切线交于点 E,若 F1E 交 x 轴于 P,F2E 交 x 轴于 Q,求 |PQ| 的 值. 11. 设 a0, a1, a2, · · · 是 个无限实数列,满足不等式 an−1 + an+1 2 ≥ an 对 切正整数 n 都成立, 证明: a0 + an+1 2 ≥ a1 + a2 + · · ·+ an n . 22