8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 第八章 立体几何初步 问题引入 什么是几何体的表面积？什么是几何体的体积？ 表面积是几何体表面的面积， 它表示几何体表面的大小， 体积是几何体所占空间的大小. 新知探索 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 就是围成它们的各个面的面积的和. 棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的 面积有什么关系？ 多面体的表面积就是其展开图的面积， 所以常把多面体展开成平面图形， 利用平面图形求多面体的表面积. 新知探索 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h， 则V=Sh. 棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h， 则V=Sh. 棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′、S， 高为h，则V=(S+S′+) h. 典例精析 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 (1)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时， 该三棱锥的表面积是 A.a2 B. a2 C. a2 D. a2 解 设正三棱锥的侧棱长为b， 则由条件知，b2+b2=a2，即b2=a2， 所以S=a2+3××a2=a2.故选A. A D B C (2)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5， 求该直四棱柱的表面积. 解　设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 又因为四边形ABCD为菱形， 所以S菱形=AC·BD= ×10×2=20， 所以S表=2S菱形+S侧 =2×20+160=40+160. 典例精析 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′， 求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 解 方法一：设AB=a，AD=b，DD′=c， 则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc， 又S△A′DD′=bc且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a. 所以V三棱锥C-A′DD′=S△A′D′D·CD=abc. 则剩余部分的几何体体积V剩=abc-abc=abc. 故V棱锥C-A′DD′∶V剩=abc∶abc=1∶5. 方法二：设底面ADD′A′面积为S，高为h， 则长方体的体积为V=Sh. 而棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高为h， 因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh. 剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh. 所以棱锥C-A′DD′的体积 与剩余部分的体积之比为1∶5. 典例精析 题型三：等积法求体积 例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积. 又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a， 解　由 ＝ ， 典例精析 题型四：等体积法求点到面的距离 例4 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d. 解 在三棱锥A1-ABD中，AA1⊥平面ABD， AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D=a， 因为= 所以 所以d=a.所以点A到平面A1BD的距离为a. 典例精析 题型五：分割法求几何体的体积 例5 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. ∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF. ∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB ∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20. 典例精析 题型六：补体法求几何体的体积 例6 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 A.5π B.6π C.20π D.10π 解　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱， 如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 跟踪练习 1.棱长为3的正方体的表面积为 A.27　　　　B.64　　　　 C.54　　　　D.36 解 根据表面积的定义，组成正方体的面 共6个，且每个都是边长为3的正方形. 从而，其表面积为6×32=54. 跟踪练习 2.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2， 动点Q在棱D′C′上，则三棱