6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 第六章 平面向量及其应用 问题引入 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 正弦定理 余弦定理推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 在实践中，经常会进行距离、高度、角度的测量. 解决这类问题，借助工具及 解三角形有关知识. 典例精析 题型一：测量两个不可到达点间的距离 例1 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)， 设计一种测量A，B两点间距离的方法，并求出A，B间的距离. B A 解　测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，并且在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ， 典例精析 题型二：求高度问题 例2　济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字， 其造型流畅别致，成了济南的标志和象征. 李明同学想测量泉标的高度， 于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°， 他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点， 又测得泉标顶部仰角为80°. 你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m) 例3　如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD. 典例精析 题型三：求角度问题 例4　如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处( －1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间. 解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船， 在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A 又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶. 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°， ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 跟踪练习 1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的 河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为 解　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°， 跟踪练习 2. 要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台 最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为.. 解　由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°， 跟踪练习 3.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 跟踪练习 4.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行 驶，用多少小时能最快追上乙船？ 解 如图所示，设用t小时甲船能最快追上乙船，且在C处相遇. 在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， ∠ABC=180°-45°-15°=120°. 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC，即 (28t)2=92+(20t)2-2×9×20t×，128t2-60t-27=0， 所以t=或t=- (舍去)， ∴甲船用小时能最快追上乙船. 01 分析 理解题意作出图形 02 建模 根据题意建立模型 03 求解 利用定理求解模型 04 检验 检验模型据实作答 16 本节内容结束 在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 AC＝＝， BC＝＝. 计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离 AB＝. 另解　测量者可以在河岸边选定点E，C，D，使A，E，C三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ， 在△AED和△BEC中，应用正弦定理得 AE＝＝， BE＝＝. 在△ABE中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离 AB＝. 解　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端. 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m， 则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(