6.4.3.2 正弦定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 第六章 平面向量及其应用 问题引入 三角形中的边角关系： 等边对等角 大边对大角 小边对小角 从量化的角度看，问题为： 在△ABC中， 设A的对边为a，B的对边为b， 求A，b，a，b之间的定量关系. 在△ABC中，已知A，B，a，求b. A B C b a 新知探索 正弦定理的证明 A B C b a c sinA=，sinB= A B C b a c A B C b a c D AD=csinB=bsinC D AD=csin(π-B)=bsinC ⇒csinB=bsinC ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 3 A B C j j·= j·()= j·+ j· 即|j|||cos()=0+ |j|||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ A B C j j·= j·()= j·+ j· 即|j|||cos()=0+ |j|||cos() ⇒csinA=asinC ⇒ ⇒ j j ①在锐角△ABC中，如图1，连接BO并延长，交外接圆于点A′， 连接A′C， 则圆周角A′＝A. ∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°， ②若∠A为直角(如图2所示)， 在Rt△BAC中，可直接得a＝2Rsin A； ③若∠A为钝角(如图3所示)，作直径BA′，连接A′C， 则∠A′＝π－∠A，在Rt△BCA′中， BC＝A′Bsin A′＝2Rsin(π－A)＝2Rsin A， 即a＝2Rsin A. 典例精析 题型一：已知两角及一边解三角形 例1　在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形. 又C＝180°－(30°＋60°)＝90°. 典例精析 题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，解三角形. ∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°. 引申探究 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？ 典例精析 题型三：三角形形状的判断 求证：△ABC为等腰直角三角形. ∴a2＝b2即a＝b， 又∵sin2A＋sin2B＝sin2C， ∴△ABC为等腰直角三角形. 典例精析 题型四：正弦定理和余弦定理的综合应用 例4 设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且cos B=，b=2. (1)当A=30°时，求a的值. (2)当△ABC的面积为3时，求a+c的值. 解 (1)∵cos B=，∴sin B= 又∵A=30°， ∴由正弦定理可知a=. (2)∵S△ABC=acsin B=3， ∴ac=， 由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B， 即4=a2+c2- ac=a2+c2-9， 化为 a2+c2=13，则(a+c)2-2ac=13， ∴(a+c)2=28， 故a+c=2. 例5 在△ABC中，证明下列各式： (1)(a2-b2-c2)tan A+(a2-b2+c2)tan B=0. (2). 证明 (1)左边=-2bccosAtanA+2accosBtanB =2acsinB-2bcsinA =2c(asinB-bsinA) =0=右边. (2)左边= = = 跟踪练习 1.在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 解　由sin A＝sin C及正弦定理， 知a＝c， ∴△ABC为等腰三角形. 2.在△ABC中， a，b，c分别为角A，B，C所对的边. 若b+a(sin C-cos C)=0，则A= 解 由正弦定理得 sin B+sin A(sin C-cos C)=0， sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0， 所以(cos A+sin A)sin C=0， 又sin C≠0，所以cos A+sin A=0， 所以tan A=-1， 又因为A∈(0，π)，所以A= . 跟踪练习 跟踪练习 4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (1)求A. (2)若a+b=2c，求sin C. 解 (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C， 故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A= 因为0°<A<180°，所以A=60°. (2)由(1)知B=120°-C， 由题设及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C， 即cosC+sinC=2sinC 可得cos(C+60°)= 由于0°<C<120°，所以C+60°=135°. 即C=7