假期作业18 平面向量的数量积-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，北师大版）

　　１８．平面向量的数量积　　　　　　　　　 １．平面向量的数量积 定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹 角为θ,则数量　　　　叫做a与b 的数量 积(或内积)．规定:零向量与任一向量的数 量积为　　　　． ２．平面向量数量积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝　　　　; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰 (λb); (３)分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　　　． ３．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),‹a,b› ＝θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝　　　　 |a|＝　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　 a􀅰b＝　　　　 　　　　　　　 夹角 cosθ＝　　　 cosθ＝　　　　 　　　　　　　 a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　　 　　　　　　　 ４．向量在几何中的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,常用共线向 量定理:a∥b⇔a＝λb⇔x１y２－x２y１＝０(b ≠０)． (２)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０． ◆[考点一]　平面向量数量积的运算 １．(２０２２􀅰全国乙卷)已知向量a,b满足|a|＝ １,|b|＝ ３,|a－２b|＝３,则a􀅰b＝ (　　) A．－２　　B．－１　　C．１　　D．２ ２．(２０２１􀅰浙江卷,３)已知非零向量a,b,c,则 “a􀅰c＝b􀅰c”是“a＝b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．已知非零向量a,b满足|a|＝２|b|,且(a－ b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． ５π ６ ４．(２０２２􀅰全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦 值为１ ３ ,且|a|＝１,|b|＝３,则(２a＋b)􀅰b＝ 　　　　． ◆[考点二]　平面向量数量积的坐标运算 ５．(多选)已知a,b 为非零向量,且a＝(x１, y１),b＝(x２,y２),则下列命题中与a⊥b等 价的选项为 (　　) A．a􀅰b＝０ B．x１x２＋y１y２＝０ C．|a＋b|＝|a－b| D．a２＋b２＝(a＋b)２ ６．(多选)(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,１０)已知O 为 坐标原点,点 P１(cosα,sinα),P２(cosβ, －sinβ),P３(cos(α＋β),sin(α＋β)),A(１, ０),则 (　　) A．|OP１ → |＝|OP２ → | B．|AP１ → |＝|AP２ → | C．OA → 􀅰OP３ → ＝OP１ → 􀅰OP２ → D．OA → 􀅰OP１ → ＝OP２ → 􀅰OP３ → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４ ７．(２０２１􀅰全国乙卷理,１４)已知向量a＝(１, ３),b＝(３,４),若(a－λb)⊥b,则λ＝　　 　　． ８．(２０２１􀅰全国甲卷理,１４)已知向量a＝(３, １),b＝ (１,０),c＝a＋kb．若a⊥c,则k ＝　　　　． ◆[考点三]　平面向量数量积的综合应用 ９．已知向量a,b满足|a|＝５,|b|＝６,a􀅰b＝ －６,则cos‹a,a＋b›＝ (　　) A．－３１３５ B．－ １９ ３５ C． １７ ３５ D． １９ ３５ １０．平行四边形 ABCD 中,AB＝４,AD＝２, AB →􀅰AD → ＝４,点 P 在边CD 上,则PA →􀅰 PB → 的取值范围是 (　　) A．[－１,８] B．[－１,＋∞) C．[０,８] D．[－１,０] １１．如图所示,ABCD 是正方 形,M 是BC 的中点,将 正方形折起使点A 与M 重合,设折痕为EF,若正 方 形 面 积 为 ６４,求 △AEM 的面积． １２．在 △ABC 中,AB →􀅰AC → ＝０,|AB → |＝１２, |BC → |＝１５,l为线段BC 的垂直平分线,l 与BC 交于点 D,E 为l上 异于 D 的 任 意一点． (１)求AD →􀅰CB → 的值; (２)判断AE →􀅰CB → 的值是否为一个常数, 并说明理由． １．(