假期作业17 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，北师大版）

　１７．平面向量的基本定理及坐标表示　　　　　　　　　 １．平面向量基本定理 如果e１,e２ 是同一平面内的两个　　　　向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有 且只有一对实数λ１,λ２,使a＝　　　　．不 共线的向量e１,e２ 叫做表示这一平面内所有 向量的一组　　　　． ２．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b,作OA → ＝a,OB → ＝ b,则∠AOB＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如 图所示)． (１)范围:向量a与b 的夹角的范围是　　　 　　　． (２)当θ＝０°时,a与b　　　　;当θ＝ 　 时,a与b反向． (３)垂直:如果a与b的夹角是　　　　,则称 a与b垂直,记作　　　　． ３．平面向量的坐标运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ (　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b＝ (　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ４．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其中b≠０,a、 b共线,当且仅当存在实数λ,使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向量 a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理的应用 １．设e１,e２ 是平面内所有向量的一组基,则下 列四组向量中,不能作为基的是 (　　) A．e１＋e２ 和e１－e２ B．３e１－４e２ 和６e１－８e２ C．e１＋２e２ 和２e１＋e２ D．e１ 和e１＋e２ ２．(多选)已知 D,E,F 分别为 △ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且BC → ＝a,CA → ＝b,则下 列命题正确的是 (　　) A．AD → ＝１２a－b B．BE → ＝a＋１２b C．CF → ＝－１２a＋ １ ２b D．AD → ＋BE → ＋CF → ＝０ ３．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷,３)在△ABC 中,点 D 在边AB 上,BD＝２DA,记CA → ＝m,CD → ＝n, 则CB → ＝ (　　) A．３m－２n　　　　　　B．－２m＋３n C．３m＋２n D．２m＋３n ４．在等腰梯形ABCD中,DC → ＝２AB →,E为BC的 中点,F为DE的中点,记DA → ＝a,DC → ＝b．若用 a,b表示DF →,则DF → ＝　　　　　　． ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．如图所示,若向量e１,e２ 是互 相垂直的单位向量,则向量 ２a＋b在平面直角坐标系中 的坐标为 (　　) A．(３,４) B．(２,４) C．(３,４)或(４,３) D．(４,２)或(２,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４ ６．已知向量a＝ －２,３２ æ è ç ö ø ÷,２a＋３b＝(５,－３), 则b＝ (　　) A．(－３,２) B．(３,－２) C．(３,０) D．(９,６) ７．已知点A(２,３),B(４,５),C(７,１０),若AP → ＝ AB → ＋λAC →(λ∈R),且点P 在直线x－２y＝０ 上,则λ的值为 (　　) A．２３ B．－ ２ ３ C．３２ D．－ ３ ２ ８．平面上有A(２,－１),B(１,４),D(４,－３)三 点,点C 在直线AB 上,且AC → ＝１２BC →,连接 DC并延长至点E,使|CE → |＝１４|ED → |,则点 E 的坐标为　　　　． ◆[考点三]　平面向量共线的坐标表示 ９．已知向量a＝(－３,１),b＝(１,３),c＝２a＋ kb．若a∥c,则k＝ (　　) A．－１　　　B．０　　　C．１　　　D．２ １０．已知向量a＝(３,２),b＝(２,－１),若非零 向量ma＋nb 与a＋２b共线,其中 m,n∈ R,则mn 的值为　　　　． １１．已知A(３,２),B(－１,２),C(４,１),判断A, B,C三点能否共线． １２．平面内给定三个向量a＝(３,２),b＝(－１, ２),c＝(４,１)． (１)求满足a＝mb＋nc的实数m,n; (２)若(a＋kc)∥(２b－a),求实数k． １．(多选)以