第03练 解三角形（4种题型过关练+能力提升练+拓展练）-2023年【暑假分层作业】高一数学（苏教版2019必修2）

第03练 解三角形（4种题型过关练+能力提升练+拓展练） 一．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC　 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝，sinB＝，sinC＝； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝， cosB＝， cosC＝ 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解． 二、正余弦定理的应用 （2）测量高度问题： 解题思路： ①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． ②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可． 点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角． 三．三角形中的几何计算 1、几何中的长度计算： （1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． （2）利用余弦定理可以求解： ①解三角形； ②判断三角形的形状； ③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角． 2、与面积有关的问题： （1）．关于三角形面积问题 ①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB； ③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径） ④S△ABC＝； ⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））； ⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径） （2）面积问题的解法： ①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． ②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解． 3、几何计算最值问题： （1）常见的求函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域． ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域． （2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况： ①当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0． ②当角度在90°～180°间变化时， 正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1； 余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0； 正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0． 一．正弦定理（共4小题） 1．（2023春•润州区校级期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B＝（　　） A． B． C． D．或 （多选）2．（2023春•秦淮区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．△ABC的面积为 3．（2023春•泗阳县校级月考）在斜三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4ccosA＝b，则+的最小值为 　 　． 4．（2