假期作业28 空间中的垂直关系-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，人教B版）

２８．空间中的垂直关系　　　　　　　 １．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一条直线 与一个平面内 的　　　　　 都垂直,则这条 直线与这个平 面垂直 a,b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b ü þ ý ï ï ï ï ï ï ⇒l⊥α 性 质 定 理 如果两条直线 垂直于同一个 平面,那么这两 条直线　　　 　　　　　 a⊥α b⊥α}⇒a∥b ２．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 如果一个平面 经过另一个平 面的　　　　, 则这两个平面 互相垂直 l⊂β l⊥α}⇒α⊥β 性 质 定 理 如果两个平面 互相垂直,那么 在一个平面内 垂直于　　　 的直线垂直于 另一个平面 α⊥β l⊂β α∩β＝a l⊥a ü þ ý ï ï ï ï ï ï ⇒l⊥α ３．直线与直线所成角 (１)定义:如果a,b是空间中的两条异面直线, 过空间中任意一点,分别作与a,b平行或 重合的直线a′,b′,则a′与b′所成的　　　 　　 　 称 为 异 面 直 线a 与b 所 成 角 的 大小． (２)范围:０,π２ æ è ç ù û úú． ４．直线与平面所成的角 (１)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射 影所成的　　　　,叫做这条直线和这个 平面所成的角,如图,　　　　就是斜线 AP 与平面α所成的角． (２)线面角θ的范围:θ∈ ０,π２ é ë êê ù û úú． ５．二面角 (１)定义:从一条直线出发的 两个　　　　所组成的图 形称为二面角,这条直线称为二面角的 　　　　,这两个半平面称为二面角的面． (２)二面角的平面角的取值范围:　　　　　　． 平面角是直角的二面角称为直二面角． (３)平面与平面所成的角范围为　　　　　． ◆[考点一]　直线与平面垂直的判定与性质 １．直线n⊥平面α,n∥l,直线m⊂α,则l、m 的 位置关系是 (　　) A．相交　　　　　　　 B．异面 C．平行 D．垂直 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８６ ２．给出下列４个命题,其中正确的命题是(　　) ①垂直于同一直线的两条直线平行;②垂直 于同一平面的两条直线平行;③垂直于同一 直线的两平面平行;④垂直于同一平面的两 个平面平行． A．①②　B．③④　C．②③　D．①④ ３．(多选)(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,１０)如图,在正 方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点, M,N 为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是 (　　) ◆[考点二]　平面与平面垂直的判定与性质 ４．若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 ５．在空间四边形ABCD 中,平面ABD⊥平面 BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ６．PA 垂直于正方形ABCD 所 在平面,连接 PB,PC,PD, AC,BD,则下列垂直关系正 确的是 (　　) ①平面PAB⊥平面PAD; ②平面PAB⊥平面PBC; ③平面PAB⊥平面PCD; ④平面PAB⊥平面PAC． A．①②　B．①③　C．②③　D．②④ ◆[考点三]　空间的角 ７．(多选)下列说法中正确的是 (　　) A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线a,b分别和一个二面角的两个 面垂直,则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发,分 别在两个面内作射线所成角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上 的位置没有关系 ８．如图,在长方体ABCD－A１B１C１D１ 中,AB ＝BC ＝ ２,AA１ ＝ １,则 AC１ 与 平 面 A１B１C１D１ 所成角的正弦值为　　　　． ９．在 正 方 体 ABCD －A１B１C１D１ 中,截 面 A１BD 与底面ABCD 所成的二面角A１－ BD－A 的正切值为　　　　． ◆[考点四]　垂直的综合问题 １０．在正方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,E,F 分 别为AB,BC的中点,则 (　　) A