假期作业12 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，人教A版）

１２．平面向量的基本定理及坐标表示　　　　　　　 １．平面向量基本定理 如果e１,e２ 是同一平面内的两个　　　　向 量,那么对于这一平面内的任意向量a,有 且只有一对实数λ１,λ２,使a＝　　　　．不 共线的向量e１,e２ 叫做表示这一平面内所有 向量的一组　　　　． ２．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b,作OA → ＝a,OB → ＝ b,则∠AOB＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如 图所示)． (１)范围:向量a与b 的夹角的范围是　　　 　　　． (２)当θ＝０°时,a与b　　　　;当θ＝ 　 时,a与b反向． (３)垂直:如果a与b的夹角是　　　　,则称 a与b垂直,记作　　　　． ３．平面向量的坐标运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ (　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b＝ (　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ４．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其中b≠０,a、 b共线,当且仅当存在实数λ,使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向量 a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理 １．设e１,e２ 是平面内所有向量的一组基底,则 下列四组向量中,不能作为基底的是(　　) A．e１＋e２ 和e１－e２ B．３e１－４e２ 和６e１－８e２ C．e１＋２e２ 和２e１＋e２ D．e１ 和e１＋e２ ２．若D 为△ABC的边AB 的中点,则CB → ＝ (　　) A．２CD → －CA → 　　　　　　B．２CA → －CD → C．２CD → ＋CA → D．２CA → ＋CD → ３．如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D 是半圆弧AB ︵ 的两个三 等分点,AB → ＝a,AC → ＝b,则 AD → ＝ (　　) A．a－１２b B． １ ２a－b C．a＋１２b D． １ ２a＋b ４．(多选题)已知D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且BC → ＝a,CA → ＝b,则下 列命题正确的是 (　　) A．AD → ＝１２a－b B．BE → ＝a＋１２b C．CF → ＝－１２a＋ １ ２b D．AD → ＋BE → ＋CF → ＝０ ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．已知向量a＝(２,４),b＝(－１,１),则２a＋b 等于 (　　) A．(５,７) B．(５,９) C．(３,７) D．(３,９) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２ ６．若向量a＝(２,１),b＝(－１,２),c＝ ０,５２ æ è ç ö ø ÷, 则c可用向量a,b表示为 (　　) A．１２a＋b B．－ １ ２a－b C．３２a＋ １ ２b D． ３ ２a－ １ ２b ７．已知点A(２,３),B(４,５)C(７,１０),若AP → ＝ AB → ＋λAC →(λ∈R),且点P 在直线x－２y＝ ０上,则λ的值为 (　　) A．２３　　B．－ ２ ３　　C． ３ ２　　D．－ ３ ２ ８．已知平行四边形的三个顶点分别是 A(４, ２),B(５,７),C(－３,４),则第四个顶点D 的 坐标是　　　　． ◆[考点三]　平面向量基本定理的综合应用 ９．已知在Rt△ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝１, AC＝２,D 是 △ABC 内一点,且 ∠DAB＝ ６０°,设AD → ＝λAB → ＋μAC →(λ,μ∈R),则 λ μ ＝ (　　) A．２ ３３ 　　B． ３ ３　　C．３　　D．２ ３ １０．已知正方形ABCD 的边长为２,点P 满足 AP → ＝１２ (AB → ＋AC → ),则|PD → |＝　　　;PB → 􀅰 PD → ＝　　　　． １１．设e１,e２ 是不共线的非零向量,且a＝e１－ ２e２,b＝e１＋３e２． (１)证明:a,b可以作为一组基底; (２)以a,b为基底,求向量c＝３e１－e２ 的分 解式; (３)若４e１－３e２＝λa＋μb,求λ,μ的值