新知预览4 空间向量及其运算的坐标表示-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，人教A版）

４．空间向量及其运算的坐标表示　　　　　　　 　　★[学习目标]:１．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．２．掌握空间向量的线性运算及其 坐标表示．３．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．４．能利用空间两点间的距离公式解决有关 问题． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间直角坐标系 (１)空间直角坐标系:在空间选定一点O 和一 个　　　　基底{i,j,k}．以点O为原点,分 别以i,j,k的方向为　　　　、以它们的长为 　　　　建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它 们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直 角坐标系Oxyz,O叫做　　　　,i,j,k都 叫做　　　　． (２)通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, 分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面, 它们把空间分成八个部分． 点睛:坐标向量i,j,k满足:①|i|＝|j|＝ |k|＝１,②i􀅰j＝i􀅰k＝j􀅰k＝０ ２．空间直角坐标系的画法 (１)空间直角坐标系的画法:画空间直角坐标 系Oxyz时,一般使∠xOy＝　　　　, ∠yOz＝　　　　． (２)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向　　　　　的正方向,食指 指向　　　　　的正方向,如果中指指向 　　　　的正方向,则称这个坐标系为右 手直角坐标系． ３．空间向量的坐标 (１)点的坐标:在单位正交基底{i,j,k}下与向 量OA → ＝xi＋yj＋zk 对应的有序实数组 (x,y,z),叫做点A 在空间直角坐标系中 的坐标,记作　　　　,其中x 叫做点A 的横坐标,y叫做点A 的纵坐标,z叫做点 A 的竖坐标． (２)向量的坐标:在空间直角坐标系O－xyz 中,给定向量a,作OA → ＝a．由空间向量基 本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使a＝xi＋yj＋zk,有序实数组　　　　 叫做a在空间直角坐标系O－xyz中的坐 标,上式可简记作　　　　　． ４．空间向量的坐标运算 (１)空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的　　　　　　　　　． (２)设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３),则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝　　　　　　　　 减法 a－b＝　　　　　　　　 数乘 λa＝　　　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　　　　 ５．空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(b≠０) a１＝λb１,a２＝λb２, a３＝λb３(λ∈R) a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　　　 模 |a|＝ a􀅰a |a|＝ a２１＋a２２＋a２３ 夹角 cos‹a,b›＝ a 􀅰b |a||b| cos‹a,b›＝ a１b１＋a２b２＋a３b３ a２１＋a２２＋a２３ b２１＋b２２＋b２３ ６．空间两点间距离公式 设P１(x１,y１,z１),P２(x２,y２,z２),则P１P２＝ |P１P２ → |＝　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３８ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　求点的坐标 　(１)点P(－２,１,３)关于x 轴的对称点 的坐标是　　　　,关于坐标平面xOy 的 对称点的坐标是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求点关于坐标轴或坐标平面 对称的点的坐标,其规律是“关于谁对称, 谁不变”,如点(x,y,z)关于y 轴的对称 点为(－x,y,－z),关于平面yOz的对称 点是(－x,y,z)． [变式训练] １．已知点A(３,２,－３),则点A 关于y 轴的对 称点的坐标是 (　　) A．(－３,－２,３)　　　　B．(－３,２,－３) C．(－３,２,３) D．(－３,－２,－３) ◆[题型二]　求向量的坐标 　 已 知 ABCD － A１B１C１D１ 是棱长为２的 正方体,E,F 分别为BB１ 和DC 的中点,建立如图 所示的空间直角坐标系, 试写出DB１ →,