新知预览3 空间向量基本定理-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，人教A版）

　３．空间向量基本定理　　　　　　　 　　★[学习目标]:１．理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用．２．掌握空间向量的正交 分解． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一 个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x, y,z),使得　　　　　　． ２．基底 (１)定义:如果三个向量a,b,c　　　　,那么 所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa ＋yb＋zc,x,y,z∈R},这个集合可看作由 向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间 的一个　　　　,a,b,c都叫做　　　　． (２)性质:空间任意三个　　　　的向量都可 以构成空间的一个基底． ３．正交分解 (１)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三 个基向量　　　　,且长度都为　　　　,那 么这个基底叫做单位正交基底,常用(i,j, k)表示． (２)正交分解:由空间向量基本定理可知,对空 间中的任意向量a,均可以分解为三个向 量xi,yj,zk,使　　　　　　．像这样,把 一个空间向量分解为三个　　　　的向 量,叫做把空间向量正交分解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　基底的判断 　已知{e１,e２,e３}是空间的一个基底,且 OA → ＝e１＋２e２－e２,OB → ＝－３e１＋e２＋２e３,OC → ＝e１＋e２－e３,试判断{OA →,OB →,OC →}能否作 为空间的一个基底． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判断基底的基本思路 (１)判断一组向量能否作为空间的一个基 底,实质是判断这三个向量是否共面, 若不共面,就可以作为一个基底． (２)判断基底时,常常依托正方体、长方 体、平行六面体、四面体等几何体,用 它们从同一顶点出发的三条棱对应的 方向向量为基底,并在此基础上构造 其他向量进行相关的判断． [变式训练] １．设x＝a＋b,y＝b＋c,z＝c＋a,且{a,b,c}是 空间的一个基底．给出下列向量组: ①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x, y,a＋b＋c}． 其中 可 以 作 为 空 间 的 基 底 的 向 量 组 有 　　　　(填序号)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９７ ◆[题型二]　利用基底表示向量 　如图,在平行六面体 ABCD－A１B１C１D１ 中,设 AA１ → ＝a,AB → ＝b,AD → ＝c, M,N,P 分 别 是 AA１, BC,C１D１ 的中点,试用a, b,c表示以下各向量; (１)AP →; (２)A１N →; (３)MP → ＋NC１ → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　用基底表示向量的步骤 定基底 根据已知条件,确定三个不共 面的同量构成空间的一个基 底 找目标 用确定的基底(或已知基底) 表示目标向量,需要根据三角 形法则及平行四边形法则,结 合相等向量的代换、向量的运 算进行变形、化简,最后求出 结果 下结论 利用空间向量的一个基底{a, b,c}可以表示出空间所有向 量．表示要彻底,结果中只能 含有a,b,c,不能含有其他形 式的向量 [变式训练] ２．如图所示,在正方体 AB