新知预览2 空间向量的数量积运算-【快乐假期】2023高一数学暑假大作业（新教材，人教A版）

２．空间向量的数量积运算　　　　　　　 　　★[学习目标]:１．掌握空间向量的数量积．２．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意 义．３．能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一 点O,作OA → ＝a,OB → ＝b,则∠AOB 叫 做向量a,b的夹角 记法 ‹a,b› 范围 通常规定:０≤‹a,b›≤π,当‹a,b›＝ 　　　　时,a⊥b ２．空间向量的数量积 (１)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos‹a,b› 叫做a,b的数量积,记作　　　　　　．即 a􀅰b＝　　　　． (２)运算律 ①结合律:(λa)􀅰b＝　　　　; ②交换律:a􀅰b＝　　　　; ③分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　． (３)性质 向 量 数 量 积 的 性 质 垂直 若 a,b 是 非 零 向 量,则 a⊥b ⇔　　　　 共线 同向:a􀅰b＝|a|􀅰|b| 反向:a􀅰b＝－|a|􀅰|b| 模 a􀅰a＝　　　　＝|a|; |a|＝ a􀅰a; |a􀅰b|≤|a|􀅰|b| 续表 夹 角 θ为a,b的夹角,则cosθ＝ a􀅰b |a||b| ３．投影向量 (１)向量a在向量b上的投影先将 向量a与向量b平移到同一平 面α内,如图①,向量c称为向量a 在向量 b上的投影向量． (２)向量a在直线l上的投影如图②,向量c称 为向量a在直线l上的投影向量． (３)向量a在平面β 上的投影如图③,分别由 向量a的起点A 和终点B 作平面β 的垂 线,垂足分别为A′,B′,得到向量A′B′ →,则 向量A′B′ →(a′)称为向量a在平面β上的投 影向量． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５７ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　空间向量的数量积运算 　如图所示,已知空间 四边形 ABCD 的每条边 和对角线长都等于１,点 E,F分别是AB,AD 的中 点,计算: (１)EF →􀅰BA →; (２)EF →􀅰BD →; (３)EF →􀅰DC →; (４)BF →􀅰CE → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　空间向量运算的两种方法 (１)利用定义:利用a􀅰b＝|a||b|cos‹a, b›并结合运算律进行计算． (２)利用图形:计算两个向量的数量积,可 先将各向量移到同一顶点,利用图形 寻找夹角,再代入数量积公式进行 运算． [变式训练] １．已知长方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,AB＝ AA１＝２,AD＝４,E 为侧面AA１B１B 的中 心,F 为 A１D１ 的 中 点．求 下 列 向 量 的 数 量积． (１)BC →􀅰ED１ →;(２)BF →􀅰AB１ → ． ◆[题型二]　利用数量积证明垂直问题 　如图所示,在四棱锥 P －ABCD 中,底面ABCD 为 平行四边形,∠DAB＝６０°, AB＝２AD,PD⊥ 底 面 ABCD．求 证:PA ⊥BD． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用空间向量解决垂直问题 的方法 (１)证明线线垂直的关键是确定直线的方 向向量,看方向向量的数量积是否为 ０来判断两直线是否垂直． (２)证明与空间向量a,b,c有关的向量 m,n垂直应先用向量a,b,c表示向量 m,n,再求解向量m,n的数量积并判 断是否为０． [变式训练] ２．如图所示,在正方体ABＧ CD－A１B１C