2023年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题

2 2023 年重庆预赛 一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） 1. 设集合 ß 5 x + y | 1 ≤ x ≤ y ≤ ™ 中的最大元素与最小元素分别为M,N，则MN = ． 2. 设 f(x) 是二次函数，且 2x2−4x+3 ≤ f(x) ≤ 3x2−6x+4，f(3) = 11，则 f(5) = ． 3. 若实数 x, y 满足 4x2−2xy+2y2 = 1，则 3x2+xy+y2 的最大值与最小值的和为 ． 4. 一只蚂蚁在正方体 ABCD − EFGH 的顶点 A 处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一 个，那么六次爬行之后回到顶点 A 处的概率为 ． 5. 设 α, β, γ ∈ R，且满足 sinα · cosβ + | cosα · sinβ| = sinα · | cosα|+ | sinβ| · cosβ，则 (tan γ − sinα)2 + (cot γ − cosβ)2 的最小值为 ． 6. 双曲线 x 2 a2 − y 2 16 = 1 的左、右焦点分别为 A,B，P 是双曲线上一点，若 △PAB 的内切圆圆心 为 I(3, 1)，则 △PAB 外接圆的半径为 ． 7. 已知复数 z 满足 |z| = 1，则 |z3 + z2 − 5z + 3| 的最大值为 ． 8. 棱长为 √ 2 的正四面体 ABCD 中，已知 # » AP = 1 2 # » AB， # » AQ = 1 3 # » AC， # » AR = 1 4 # » AD．若点 K 为 △BCD 的重心，则四面体 KPQR 的体积为 ． 5 2 2023 年重庆预赛 二、解答题（本题满分 56 分） 9.（本题满分 16 分）设 x, y, z ≥ 0，且 x+ y+ z = 2，证明：3x+8xy+16xyz ≤ 12，并指出其中 “=”成立的条件． 10.（本题满分 20 分）已知 λ 为正实数，数列 {an} 满足：a1 = 1 3 ，an+1 = 2a2n 4a2n − 2an + 1 ，n = 1, 2, 3, · · · 若对任意的 m ∈ N∗，都有 m∑ k=1 ak < λ，求 λ 的最小值． 11.（本题满分 20 分）已知椭圆 C：x 2 a2 + y2 b2 = 1（a > b > 1）的离心率为 2 3 ，以其左顶点 K 为 圆心， √ 6 为半径作圆 K，圆 K 交椭圆于 A,B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 −3 2 ． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 圆 K 交直线 x = −9 2 于 C,D 两点，点 P 在线段 CD 上，过点 P 作椭圆的两条不同切线 PE,PF（E,F 为切点），求 △PEF 面积的取值范围． 6