6.4.1 平面几何中的向量方法 课件--2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.1 平面几何中的向量方法 第六章 平面向量及其应用 问题引入 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的 几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、 相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算 及数量积运算表示出来，因此平面几何中的 许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 向量与平面几何有何关系？ 新知探索 几何性质及几何与向量的关系 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ. 问题类型 所用知识 公式表示 平行、共线 共线向量定理 a∥b⇔ ⇔ ，b≠0 垂直问题 数量积 a⊥b⇔a·b＝0⇔ ，a，b为非零向量 夹角问题 数量积 cos θ＝ ，a，b为非零向量 长度问题 数量积 |a|＝ ＝ ，a＝(x，y) a＝λb x1y2－x2y1＝0 x1x2＋y1y2＝0 典例精析 题型一：利用向量证明平面几何问题 例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 则|a|＝|b|，a·b＝0. 4 方法二　如图所示，建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 例2 已知点O，P，Q在△ABC所在平面内，且，则点O，P，Q依次是△ABC的(　　) A.重心，垂心，外心 B.重心，内心，垂心 C.外心，垂心，重心 D.外心，内心，垂心 解 由 知点O为△ABC的外心； ∵ ∴(=0， ∴=0.∴CA⊥PB. 同理，AP⊥BC， ∴点P为△ABC的垂心. 取AB的中点E，连接OE， 则 又， ∴， ∴Q，C，E三点共线，且 ∴Q为△ABC的重心. E A B C Q 典例精析 题型二：平面几何中的求值问题 例3 在△ABC中，AB=3，AC边上的中线BD=，=5，则AC的长(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解 因为 所以= 即=1. 所以||=2即AC=2. D A B C 例4 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，则两条直角边的中线 所夹的锐角的余弦值为________.  解 方法一 在Rt△ABC中，∠C=90°， D，E分别是BC，AC边的中点， BC=4，AC=6，则CD=2，CE=3， 所以|AD|= |BE|==5. =6×3+0+0+2×4=26. 设与的夹角为θ， 则cosθ=== 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为. 方法二 如图，建立平面直角坐标系. D，E分别为BC，AC的中点， ∴A(0，6)，B(4，0)，D(2，0)，E(0，3) 则=(2，-6)，=(4，-3)， 所以·=2×4+(-6)×(-3)=26， ， 5. 例4 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=6，则两条直角边的中线 所夹的锐角的余弦值为________.  设与的夹角为θ， 则cosθ=== 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为. y x 跟踪练习 1.已知点A(2，3)，B(-2，6)，C(6，6)， D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的 四边形是(　　) A.梯形 B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.两组对边均不平行的四边形 解 ∵=(8，0)， =(8，0)， ∴=，∵=(4，-3)， ∴||=5，而||=8， 故为邻边不相等的平行四边形. 跟踪练习 ∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线. 跟踪练习 点D在AB边的中位线上， 且为靠近BC边的三等分点处， 解 如图可知 解　连接AO，∵O是BC的中点， 又∵M，O，N三点共线， 跟踪练习 课堂小结 几何问题转化为 向量问题 通过向量运算研究几何关系 运算结果翻译为 几何关系 设计师主页欢迎您：http://www.pptvzaixian.com/shop/view36949.html 14 本节内容结束 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝