6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课件--2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 问题引入 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 如何用坐标表示a·b？ a·b =(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i·j +y1x2j·i+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和. 新知探索 数量积的坐标表示 向量垂直 模长 a＝(x，y) |a|＝ 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量 夹角 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 典例精析 题型一：数量积的坐标运算 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于 A.10 B.－10 C.3 D.－3 解　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， ∴(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 解　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. y x 典例精析 题型二：平面向量的模 例2　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1). (1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|. 解　(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)， ∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， (2)∵a·b＝－6＋5＝－1， ∴c＝a＋b＝(1,6)， 典例精析 题型三：平面向量的夹角与垂直问题 典例精析 题型四：坐标运算在解三角形中的应用 设点C的坐标为(x，y)(y>0)， ∵AB＝2，∴点B的坐标是(2,0)， y x 解　如图建立平面直角坐标系， 跟踪练习 1.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)， 则a与b夹角的余弦值为 a·b＝3×5＋4×12＝63. 跟踪练习 2.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于 解　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 跟踪练习 3.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)， 若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于 A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 解　因为m＋n＝(2λ＋3,3)， m－n＝(－1，－1)， 由(m＋n)⊥(m－n)， 可得(m＋n)·(m－n) ＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－2λ－6＝0， 解得λ＝－3. 跟踪练习 A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3) 解　由题意设b＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)， 又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6). 跟踪练习 5.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4). 求证：AB⊥AD. 证明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， 坐标表示 模长 夹角 垂直 综合应用 课堂小结 15 本节内容结束 ||＝ cos θ＝＝. ∴E.∴＝，＝， ∴·＝－＋4＝. (2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________. ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)， ∵点E在边CD上，且＝2， ∴|a－2b|＝＝. ∴|c|＝＝. 例3　已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5)， 若(c－b)·a＝eq \f(15,2)，则a与c的夹角为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6) 解　由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝eq \f(15,2)， ∴c·a＝－eq \f(5,2)， 设a与c的夹角为θ，cos θ＝＝＝－． ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝； 若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝. 故所求k的值为－或或. 例4　在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值. 解　∵＝(2,3)，＝(1，k)， ∴＝－＝(－1，k－3). 若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－； ∴C点坐标为，则＝， ∴||＝＝， 故边AC的长为. 典例　如图，已知△ABC的面积为，AB＝2，·＝1，求边AC的长. ∴＝(2,0)，＝(x－2，y). ∵·＝1，∴2(x－2)＝1，解得x＝. 又S△ABC＝，∴·|AB|·y＝，∴y＝， A. B. C. D. 解　|a|＝＝5，|b|＝＝13. 设a，b夹角为θ，∴cos θ＝＝. A.3