6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 问题引入 已知a=(x,y)，λ∈R，如何用坐标表示λa？ 由向量数乘运算的运算律可知 λa= λ(xi+yj)=λxi+λyj 即λa=(λx, λy). 实数与向量的积的坐标等于 用这个实数乘原来向量的相应坐标. 新知探索 平面向量共线的坐标表示 向量共线定理： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0， a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb. 如何用坐标表示这个条件呢？ 用坐标表示， 可写为(x1，y1)=λ(x2，y2)， 消去λ，得：x1y2-x2y1=0， 即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 x1y2-x2y1=0. 即 x1=λx2， y1=λy2 典例精析 题型一：平面向量的坐标运算 例1　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b； 解　2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b； 解　a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). 典例精析 题型二：向量共线的判定 例2　(1)下列各组向量中，共线的是 A.a＝(－2,3)，b＝(4,6) B.a＝(2,3)，b＝(3,2) C.a＝(1，－2)，b＝(7,14) D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4) 解　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a与b不平行； B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行； C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行； D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0， ∴a∥b，故选D. (2)在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7)表示出来的是 A.e1＝(0,1)，e2＝(0，－2) B.e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10) C.e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1) D.e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8) 解　平面内不共线的两个向量可以作基底， 用它能表示此平面内的任何向量， 因为A，B，D都是两个共线向量，而C不共线， 故C可以把向量a＝(－3,7)表示出来. 典例精析 题型二：向量共线的判定 典例精析 题型三：三点共线问题 ∴A，B，C三点共线. 典例精析 题型四：由向量共线求参数的值 例4　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？ 解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵ka＋b与a－3b平行， 跟踪练习 A.(－1,2) B.(1，－2) C.(－1，－2) D.(1,2) 跟踪练习 2.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)， 若p＝ma＋nb，则m＋n＝_____. 解　由于p＝ma＋nb， 即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n) ＝(2m＋n，－3m＋2n)， 所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4， 解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7. 跟踪练习 3.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)， 若a∥b，则实数x的值为 A.2 B.－2 C.3 D.－3 解　因为a∥b， 所以2×2－(－1)×(x－1)＝0， 得x＝－3. 跟踪练习 4.已知三点A(1,2)，B(2,4)， C(3，m)共线，则m的值为____. ∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6. 5.已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_____. 解　∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB， 设点D的坐标为(x，y)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， 跟踪练习 课堂小结 数乘 坐标 共线 表示 应用 求参数 几何问题 本节内容结束 (3)a－b. 解　a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝. ∴∥，且AB，有公共点A， 例3　已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线. 证明　＝＝， ＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－×8＝0， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－. 1. 已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)， 则a－b等于 解　a－b＝(1,1)－(1，－1) ＝＝(－1,2). 解　＝(2,4)－(1,2)＝(1,2). ＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2). ∵A，B，C三点共线， 即向量，共线， ∴解得故点D的坐标为(2,4). ∴＝2. 则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，＝(2,1)－(1,