第15讲 导数与函数的单调性（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第15讲 导数与函数的单调性（精讲） 题型目录一览 ①导数与原函数图像之间的联系 ②不含参数的函数单调性 ③含参数的函数单调性 （1） 一次函数型 （2） 二次函数型Ⅰ（可因式分解） （3） 二次函数型Ⅱ（不可因式分解） （4） 指数函数型 ④函数单调性中的参数值（范围）问题 一、知识点梳理 一、单调性基础问题 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 二、讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【常用结论】 ①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 二、题型分类精讲 题型一 导数与原函数图像之间的联系 策略方法 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）. 【典例1】已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西西安·校联考一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在区间内有个极值点 D．的图象在点处的切线的斜率大于 三、填空题 5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________. 6．（2023春·上海·高三统考开学考试）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______. 题型二 不含参数的函数单调性 策略方法 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x)的定义域． (2)求f ′(x)． (3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得单调递减区间． 【典例1】函数的单调递增区间为（