6.3.1 平面向量基本定理 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 第六章 平面向量及其应用 问题引入 根据物理知识，一个力可以根据解决实际问题的需要做不同的分解，将其分解成大小、方向不同的分力. F 平行四边形法则 新知探索 平面向量基本定理 1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量， 那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底： 的向量e1，e2叫做 表示这一平面内 向量的一组基底. 任意 有且只有一对 不共线 所有 不共线 e2 e1 a O C B A 典例精析 题型一：对基底概念的理解 例1　设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是 A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 解　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线， ∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. 典例精析 题型二：用基底表示向量 解　∵四边形ABCD是平行四边形， E，F分别是BC，DC边上的中点， 典例精析 题型二：用基底表示向量 例3 如图，已知，不共线，且(t∈R)，用，表示. B P A O 解 由已知 A、B、P三点共线的充要条件是系数和等于1. 典例精析 题型三：平面向量基本定理的应用 典例精析 题型三：平面向量基本定理的应用 例5 如图，CD是△ABC的中线，CD=AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形. A C D B 证明：设=a， =b，则=a+b，=-b，于是=a-b. 则=(a+b)·(a-b)=a2-b2. ∵ CD=AB ∴CD=DA ∵a2=CD2，b2=DA2 ∴ =0 ∴CA⊥CB 因此△ABC是直角三角形. 跟踪练习 1.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组： 其中可作为该平面内所有向量的基底的是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ √ ①③中两向量不共线，故选B. 跟踪练习 解析　∵向量e1，e2不共线， 2.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2， 则x＝______，y＝______. －15 －12 跟踪练习 跟踪练习 4.在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以 因为D，E，F依次是边AB的四等分点， 基底 分解 应用 不共线 唯一性 向基底转化 课堂小结 13 本节内容结束 ＝－b＋a＋b＝a－b， ＝＋＝＋＝b－a. 例2　如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a， ＝b，试以a，b为基底表示，. ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝＝b，＝＝－＝－a. ∴＝＋＋＝－＋＋ ∴＝mμ＋2mμ－＝(mμ－1)＋2mμ ＝λ＝λ(－)＝－λ＋λ. ∵与不共线， ∴解得λ＝. 例4　如图，点A，B，C是圆O上三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P. 若＝m＋2m，＝λ，则λ＝________. 解　∵与共线， ∴存在实数μ，使＝μ＝mμ＋2mμ. ∵＝－， ①与；②与；③与；④与. 解析　②中与共线， ④中与共线， ∴解得 又∵与不共线， ∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. 3.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC， 若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－＋， ＝e1，＝e2为基底表示. 解　＝－＝e1－e2， 所以＝＝(e1－e2)， 所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2. $