6.2.4向量的数量积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 向量的数量积 第六章 平面向量及其应用 问题引入 向量可以进行加、减运算，以及数乘运算，这三种 运算称为向量的线性运算. 向量的乘法应该如何定义？ 回顾物理功的概念 θ S F W=|F||S|cosθ 这是一个标量 新知探索 向量的夹角 θ A B b a O 非零向量a和b ∠AOB为向量a和b的夹角 ①两个向量均为非零向量. ②两个向量有共同的起点. ③范围：0≤θ≤π. ④当θ=0时， a和b同向；当θ=π时， a和b反向. ⑤当θ=时，称a和b垂直，记作a⊥b. 新知探索 数量积的定义 已知两个非零向量a与b， 它们的夹角为θ， 数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos θ.  ①数量积的结果为数量. ②零向量与任一向量的数量积为0. ③仅与向量的模及其夹角有关. 新知探索 投影变换与投影向量 D b a A B C A1 B1 为向量a在向量b上的投影向量 b a O N M M1 向量b方向的单位向量为e，a与b的夹角为θ，探究投影向量的表示. b a O N M M1 b a O N M M1 b a O N M M1 θ θ θ =(|a|cosθ)e =0 =(|a|cos)e =-|a|cos(π-θ)e =(|a|cos θ)e 任意θ∈[0,π]，有=(|a|cosθ)e. 新知探索 数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角. (1)垂直的条件：a⊥b⇔a·b=0. (2)当a与b同向时，a·b=|a||b|； 当a与b反向时，a·b=-|a||b|. (3)模长公式：a·a=|a|2或|a|= (4)夹角公式：cos θ=.  (5)|a·b|≤|a||b|. 【思考】 (1)对于任意向量a与b，如果a·b=0， 是否有a=0或b=0？ (2)当cos θ<0时， 能否说明向量a与b的夹角为钝角？ 新知探索 数量积的运算律 1.a·b＝ . 2.(λa)·b＝ ＝ . 3.(a＋b)·c＝ . b·a λ·(a·b) a·(λb) a·c＋b·c 【思考】若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c? 【答案】否 【探究】完全平方式及平方差公式对于任意 向量a，b是否成立？ 【答案】成立 典例精析 题型一：求两向量的数量积 例1　已知正三角形ABC的边长为1，求： 例2 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b). 典例精析 题型一：求两向量的数量积 解　(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268. 典例精析 题型二：求向量的模 典例精析 题型三：求向量的夹角 例4 (1)设n和m是两个单位向量，夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角. 解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2 设a与b的夹角为θ， (2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a＋b的夹角及a与a－b的夹角. 解　如图所示， ∴四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝60°，即a与a＋b的夹角为60°. ∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°， 即a与a－b的夹角为30°. 典例精析 题型四：与垂直有关的问题 例5 已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)， ①求向量a与b夹角的大小；②求|a－2b|的值. 解　①设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2 ＝3＋10cos θ－8＝0， ②因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2 ＝1－4＋16＝13， 所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°. 跟踪练习 1.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为 ，则a·b等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 解　a·b＝1×2×cos ＝1. 跟踪练习 2.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1， 则a·(2a－b)＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 解　a·(2a－b)＝2a2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B. √ 跟踪练习 跟踪练习 √ 解　由题意， 得BC＝a，CD＝a，∠