6.2.3 向量的数乘运算 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 第六章 平面向量及其应用 问题引入 已知非零向量a， 作出a+a+a和 (- a)+(- a)+(- a)， 它们的长度和方向 分别是怎样的？ a 3a -3a 方向相同， 模为3倍. 方向相反， 模为3倍. 新知探索 向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个 ， 这种运算叫做向量的 ， 记作λa. 向量 数乘 长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ . (2)λa (a≠0)的方向 当 时，与a方向相同 当 时，与a方向相反 特别地，当λ＝0或a＝0时， 0a＝ 或λ0＝ . |λ||a| λ>0 λ<0 0 0 新知探索 向量数乘的运算律 1.λ(μa)＝(λμ)a. 2.(λ＋μ)a＝λa＋μa. 3.λ(a＋b)＝λa＋λb. ①特别地 (-λ)a＝-(λa)=λ (-a) λ(a-b)＝λa-λb ②向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意 实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ . 加 减 数乘 λμ1a±λμ2b 新知探索 向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线， 当且仅当有唯一一个实数λ， 使 . b＝λa 若将条件a≠0去掉，即当a＝0时， 显然a与b共线. (1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa. (2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa. 典例精析 题型一：向量的线性运算 9a 4b－3a 解析　由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝______. 典例精析 题型二：向量共线的判定及应用 例2　已知非零向量e1，e2不共线. 解　∵b＝6a，∴a与b共线. ∴A，B，D三点共线. 典例精析 题型二：向量共线的判定及应用 例3　已知非零向量e1，e2不共线，试确定k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线. 解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， ∴k＝±1. 典例精析 题型三：用已知向量表示其他向量 解析　示意图如图所示， √ 典例精析 题型四：向量的综合应用 解析　如图所示，分别取BC，AC边的中点D，E， 由①×2＋②可得 跟踪练习 1.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则 A.k＝0 B.k＝1 C.k＝2 D.k＝ √ ∴n＝2m，此时m，n共线. 跟踪练习 √ 跟踪练习 数乘定义 几何意义 运算律 共线定理 综合应用 设计师主页欢迎您：http://www.pptvzaixian.com/shop/view36949.html 15 本节内容结束 例1　(1)3(6a＋b)－9＝________. 解析　3(6a＋b)－9＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线. (2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线. 证明　∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5， ∴，共线，且有公共点B， 由于e1与e2不共线，只能有 例4　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于 A.＋ B.－ C.－ D.＋ 由题意可得＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋. 例5　如图，设O是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，则△ABC与△AOC的面积之比为________. 所以2＋＝0，即＝－2， 所以，共线，且||＝2||. 所以S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，所以＝3. 则＋＝2， ① ＋＝2， ② ＋2＋3＝2(2＋). 又因为＋2＋3＝0， 解析　当k＝时， m＝－e1＋e2， n＝－2e1＋e2. 2.已知P，A，B，C是平面内四点， 且＋＋＝，则下列向量一定共线的是 A.与 B.与 C.与 D.与 解析　因为＋＋＝， 所以＋＋＋＝0， 即－2＝， 所以与共线. 3.如图所示，已知＝， 用，表示. 解　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－＋. $