2023年九年级数学中考高频压轴题突破——二次函数与线段周长

2023年中考高频压轴题突破——二次函数与线段周长 1.如图,对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=a(x﹣h)2+k(a≠0)图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其中点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,4). (1)求该抛物线的解析式: (2)如图1,若点P为抛物线上第二象限内的一个动点,点M为线段CO上一动点,当△APC的面积最大时,求△APM周长最小值; (3)如图2,将原抛物线绕点A旋转180°,得新抛物线y',在新抛物线)y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 2.综合与探究: 如图,已知抛物线与x轴相交于A,B两点(点B在点A的右侧),且与y轴交于点C. (1)求A,B,C三点的坐标; (2)如图1,若M(m,y1),N(n,y2)是第四象限内抛物线上的两个动点,且m<n,m+n=4.分别过点M,N作x轴的垂线,分别交线段BC于点D,E.判断四边形MDEN的形状,并求其周长的最大值; (3)如图2,在(2)的条件下,当四边形MDEN的周长有最大值时,若x轴上有一点H(2m,0),抛物线的对称轴与x轴相交于点F,试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=2∠OCH?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,抛物线与轴交于两点(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC,A点的坐标是(,0),点P是抛物线上的一个动点,其横坐标为m,且m>0. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点Q是直线AC上的一个动点,且位于x轴的上方,当PQ∥y轴时,作PM⊥PQ,交抛物线于点M(点M在点P的右侧),以PQ,PM为邻边构造矩形PQNM,求该矩形周长的最小值; (3)设抛物线在点C与点P之间的部分(含点C和P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. ①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; ②当h=16时,直接写出△BCP的面积. 4.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2,0),B(﹣4,0),与y轴交于C(0,﹣3),连接BC. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上一点,过点P作PD⊥BC于点D,过点P作PE∥y轴交BC于点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标; (3)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移,平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,在平移后的抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 5.已知二次函数的图象经过点A(2,0),B(,0),C(0,4),点为二次函数第二象限内抛物线上一动点,轴于点,交直线于点,以为直径的圆⊙M与交于点. (1)求这个二次函数的关系式; (2)当三角形周长最大时.求此时点点坐标及三角形的周长; (3)在(2)的条件下,点N为⊙M上一动点,连接BN,点Q为BN的中点,连接HQ,求HQ的取值范围. 6.已知,抛物线y=mx2+x﹣4m与x轴交于点A(﹣4,0)和点B,与y轴交于点C.点D(n,0)为x轴上一动点,且有﹣4<n<0,过点D作直线1⊥x轴,且与直线AC交于点M,与抛物线交于点N,过点N作NP⊥AC于点P.点E在第三象限内,且有OE=OD. (1)求m的值和直线AC的解析式. (2)若点D在运动过程中,AD+CD取得最小值时,求此时n的值. (3)若点△ADM的周长与△MNP的周长的比为5∶6时,求AE+CE的最小值. 7.如图,已知抛物线与x轴交于点和点B,与y轴交于点. (Ⅰ)求抛物线的解析式和顶点坐标; (Ⅱ)点P是抛物线对称轴上的一个动点,当周长最小时,求点P坐标; (Ⅲ)将抛物线沿x轴平移个单位,平移后的抛物线满足:当时,y有最大值是2,求h的值. 8.在平面直角坐标系xoy中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(0,3),(2,0),顶点为M的抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,且与x轴交于点D,E(点D在点E的左侧). (1)直接写出点B的坐标,抛物线的解析式及顶点M的坐标; (2)点P是(1)中抛物线对称轴上一动点,求△PAD的周长最小时点P的坐标; (3)平移抛物线y=-x+bx+c,使抛物线的顶点始终在直线AM上移动,在平移的过程中,当抛物线与线段BM有公共点时,求抛物线顶点的横坐标a的取值范围. 9.如图,对称轴为直线的二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,B点的坐标为(1,0). (1)求此二次函数的解析式; (2)在直线上找一点P,使PBC的周长最小,并求出点P的坐标; (3)若第二象限的且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上,则当t为何值时,四边形AQCB的面积最大?最大