2023中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过A作AP∥BC交CO的延长线于点P． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若BC＝8，tanB＝2，求PA的长． 2．如图，是的直径，点在上，的外角平分线交于，交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC长． 4．如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为点平分． （1）是的切线吗？请说明理由； （2）若求的长． 5．如图，是⊙O的直径，是延长线上的一点，点在⊙O上，，交的延长线于点，交⊙O于点，且为的中点． （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求的长． 6．如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点． （1）求证：是的切线． （2）过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 7．如图，在中，，以为直径作交边于点，过点作于点，的延长线交于点，连接． （1）若，，求的值： （2）求证：为的切线． 8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长． 9．如图，已知以的边为直径作的外接圆的平分线交于，交于，过作交的延长线于． （1）求证：是切线； （2）若求的长． 10．如图，AD是⊙O的直径，BA＝BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝2，BE＝4，求⊙O半径r． 11．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F . （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）连结BC，若⊙O的半径为2，tan∠BCD=，求线段AD的长． 12．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AF＝6，EF＝8，求⊙O的半径． 13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AB＝3，AC＝4，求线段PB的长． 14．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若AF=2，AE=EF=，求OA的长． 15．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长． 16．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=25，BC=，求DE的长． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长． 18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证： （1）直线DC是⊙O的切线； （2）AC2=2AD•AO． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）详见解析；（2）PA＝． 【分析】（1）作AD⊥BC于点D，根据切线的判定即可求出答案． （2）易求得AD＝8，设OC＝OA＝x，根据勾股定理可求出x的值，再证明△AOP∽△DOC，利用相似三角形的性质即可求出PA的长度． 【解析】解：（1）作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC， ∴AE平分BC ∴点O在AD上， ∵AP∥BC， ∴AD⊥AP， ∴PA是⊙O的切线． （2）∵tanB＝2，BD＝CD＝BC＝4， ∴AD＝8， 设OC＝OA＝x， 在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2， ∴ ， 解得：x＝5， ∴OD＝8﹣x＝8﹣5＝3， ∵∠AOP＝∠COD，∠OAP＝∠ODC＝90°， ∴△AOP∽△DOC， ∴ ， ∴ ∴PA＝． 【点评】本题考查了