3.2.1 单调性与最大（小）值 教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§3.2.1函数的单调性与最大（小）值 一、教材分析 本节课内容选自人教版高中数学教材必修一第三章第一节《函数的基本性质》第一小节——函数的单调性与最大(小)值，本节课主要学习函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，共2课时，本节课为第一课时。函数的单调性是函数性质中很重要的一环，起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识，学好这一节既加深对函数概念的理解,也对后面函数的最值、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的性质的学习都有着直接的帮助。 二、学情分析 学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，其次在高一对单调性进行严格定义，最后在高三从导数的角度再次研究单调性。本节课的学习处于对单调性学习的第二层面，通过图象归纳、抽象出单调性的准确定义，并在高中首次经历代数的严格证明，是对初中学习的一次升华。在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用。 三、教学目标 知识与技能：从形与数两方面理解单调性的概念；初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法 过程与方法：在函数单调性定义的探究过程中，渗透数形结合思想方法；经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，培养逻辑推理核心素养。 情感态度价值观：在探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。 四、教学重难点 重点：函数单调性的数学符号语言刻画和初步运用 难点：理解函数单调性概念的形成过程 五、教学方法 教法：教师启发式教学法 学法：学生探究式教学法 六、教学过程 （一）创设情境，引入概念 师生活动：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律.  什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的规律性，变化的不变性”.因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律.  问题1：请看下面的函数图象(图1),从中你发现了函数图象的哪些特征？你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？图 1 师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题。学生的回答有可能涉及很多方面，教师引导学生关注函数图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高点或最低点等. 教师指出：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质。本节课我们先研究如何用定量的) 法刻画函数值随自变量的增大而增大(或减小)的变化规律. 设计意图：通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中已学的用定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务. （二）提出课题、引出概念 1.剖析概念，同化定义 问题2：在初中我们研究过二次函数，比如以为例. 请问:你是怎样理解“y随的增大而减小”的？你能说说它的数量特征吗？ 师生活动：学生先独立思考或小组讨论，然后再组织全班交流. 设计意图：从刻画数量特征角度进行描述，可以促使学生深入思考单调性，以及从定性描述转向定量刻画. 追问(1)：“增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值减小”又该如何表示？以为例，观察下表，你能给出具体的描述吗？ 师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律，如: 当从-4增大到-3，则从减小到 当从-3增大到-2，则从减小到 当从-2增大到-1，则从减少到 …… 追问(2)：①这样的变化过程能写得完吗？ ②你能借助字母符号，归纳出上述具体例子的共同点吗？ 师生活动：先让学生从具体到抽象进行概括，教师根据学生回应进行启发，最后得到只要,就有. 追问(3)：这里对有什么要求？只取(]上的某些数是否可以？你能举例说明吗？ 师生活动：让学生展开讨论，教师适当引导，并举出一些例子(反例)进行明，最终要让学生明确，应该是区间(]上的任意两个数. 追问(4)：你觉得更严格的表达应该是怎样的？ 师生活动:让学生说出“任取∈(],只要，就有.”, 教师总结:这里，我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取∈(],就把“无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程，这就是数学抽象和形式化的力量. 追问(5)：对于函数,你能模仿上述方法，给出“在区间[0,)上，随的增大而增大”的符号语言刻画吗？ 设计意图:这个环节是本节课的重点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语刻画函数单调性的不断精确化的过程中，通过问题串，设法把“任意”两个字从学生的潜意