2023年九年级中考函数专项训练讲义一 函数中的面积问题

第１讲 函数中的面积问题 题型一 已知底边和对应高 该题型已知底边一般在坐标轴上或平行于坐标轴，此时，作出该底边的高，利用坐标差求出高的值，再代入三角形面积公式即可。 如图1，AB在x轴上，求S△ABC，应过点C向x轴作垂线，S△ABC＝AB·|yC|； 如图2，AB平行于y轴，求S△ABC，应过点C向AB作垂线，S△ABC＝AB·|xB－xC|. 特点： (1)三角形的某一条边与坐标轴平行； (2)三角形较为“规则”． 例1．(2020·滨州)如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x－1 与直线 y＝－2x＋2相交于点P，并分别与 x轴相交于点A，B. (1)求交点P的坐标； (2)求△PAB的面积． 例2．如图，一次函数y＝mx＋1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B 两点，点C在x轴正半轴上，点D的坐标为(1，－2)，四边形OACD为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围； (3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP＝S菱形OACD，求点P的坐标． 题型二 不明底边或对应高 该题型底边一般不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，此时，须过某一顶点作出平行于坐标轴的一条直线，将三角形分成两部分，每一部分以该线段为底边，再作出对应的高，最后代入三角形面积公式即可。 如图1，过点C(定点)作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC＝S△ACD＋S△BCD； 如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G，则S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝CD·AE＋CD·BF＝CD·(AE＋BF)＝CD·OG. 说明：其中OG表示A，B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC＝×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”． 特点： (1)三角形的三条边没有与坐标轴平行的； (2)三角形的高和底都不易计算． 例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D(0，－6)在y轴的负半轴上．若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E. (1)求点A，B，C的坐标； (2)求△ADE的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝ S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－4交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C. (1)求该抛物线的表达式； (2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q， 连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将抛物线y＝ax2＋bx－4向右平移经过点(，0)时，得到新 抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以点A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 中考-模拟汇编 1. （2020·烟台模拟）如图，反比例函数y＝的图象经过点A，点B与点A关于x轴对称，C是y轴上一点，若△ABC的面积为2，则该反比例函数的表达式为__________. 2. （2022·泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tan A＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D. （1）求k值； （2）求△OBD的面积. 3. 如图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x－a的图象与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6. (1)求a的值； (2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $