第03讲 幂函数与二次函数（五大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 幂函数与二次函数 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 2020年江苏卷第7题，5分 从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低, 常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现. 1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【解题方法总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 题型一：幂函数的定义及其图像 【例1】（2023·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（    ） A． B．或 C． D． 【对点训练1】（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【对点训练2】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【解题方法总结】 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 题型二：幂函数性质的综合应用 【例2】（2023·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________. 【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；