8.6.3面面垂直3（二面角计算）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3面面垂直 第3课时 二面角 课程目标 学科素养 理解二面角的有关概念， 会作二面角的平面角； 能求简单二面角平面角的大小． 1.数学抽象：二面角的有关概念； 2.逻辑推理：用定理证明垂直关系； 3.数学运算：求简单二面角平面角的大小； 4.直观想象：面面垂直的定义。 8.6.3平面与平面垂直的判定 A B  1 O 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： (0o, 90o)． 2.直线和平面所成角． 1.异面直线所成角的及取值范围；． 温故知新 3.直线和平面所成角的取值范围：[ 0o,90o ] 4 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 平面角是直角的二面角叫做直二面角.相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面。 4.二面角的度量   l 二面角的大小的范围: 5、二面角的平面角的作法： (1)定义法：根据定义作出来。 (2)作垂面： 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到。 注意：二面角的平面角必须满足： （I）角的顶点在棱上。 （II）角的两边分别在两个面内。 （III）角的边都要垂直于二面角的棱。 o A B o A o A B B （1）平卧式 （2） 直 立 式 追问：平面角的顶点位置是固定的吗？ 不是，顶点的位置不影响平面角的大小。 5 5 解　取AB的中点D，连接VD，CD， ∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2， ∴△VAB为等边三角形， ∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角， 而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°， ∴二面角V－AB－C的大小为60°. 例1　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝ ， 求二面角V－AB－C的大小. D 应用探究 求二面角的策略 解：∵ PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴ PA⊥BC. ∵ AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴ AC⊥BC. ∵ PA∩AC＝A，∴ BC⊥平面PAC.∴ PC⊥BC， ∴ ∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴ ∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°. A . O 解： 则由三垂线定理得 AD⊥ . ∵sin∠ADO= ∴ ∠ADO=60°. ∴二面角 － l－  的大小为60°. 在Rt△ADO中， AO AD 例2、已知锐二面角－ l －  ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 ，到 l 的距离为 4。求二面角 － l －  的大小。   l D 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD， l 就是二面角 － l －  的平面角. 分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个 角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。 应用探究 求二面角的策略 8 O A B P C 取AB 的中点为E，连PE，OE ∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º ∴OE∥BC且 OE BC 在Rt△POE中， OE ，PO ∴ ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE OE⊥AB ，因此 PE⊥AB E 解： E O P 变式2： 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。 一“作”二“证”三“计算” 二、求二面角大小的步骤 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的 角（垂直于棱） 3、计算所求的角 方法提炼 求二面角问题的策略 一、清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点． 例3.在平面四边形ABCD中, 已知AB=BC=CD=a, ∠ABC=90°, ∠BCD=135°, 沿AC将四边形折成直二面角B-AC -D. (1)求证: 平面ABC⊥平面BCD. (2)求平面ABD与平面ACD所成的角的度数. 解:(1)在四边形ABCD中,∵AB=BC,AB⊥BC, ∴∠ACB=45°,而∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°, ∴∠ACD=90°,即CD⊥AC. 又平面ABC⊥平面ACD,且平面ABC∩平面ACD=AC,∴CD⊥平面ABC, 又CD⊂平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD. (2)过点B作BE⊥AC交AC于E，又过点E在平面AC