8.6.3面面垂直2（面面垂直性质）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3面面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质 课程目标 学科素养 1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题. 2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力． 1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化； 2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系. 平面与平面垂直的性质 1.观察实验 b 该命题正确吗？ 新知探究 平面α内什么样的直线与平面β垂直呢? （1）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直 的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？ 新知探究 Ⅰ. 观察实验 （2）观察长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1D1D与平面ABCD垂直，你能否在平面AA1D1D中找一条直线垂直于平面ABCD？ 两个平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 A B C D A1 B1 C1 D1 证明：过B在平面β内作BE⊥CD， E B β α C D A 又∵AB⊥CD， ∴∠ABE就是二面角 α—CD—β的平面角， ∴∠ABE=90。 即AB⊥BE 又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥β. 学习新知 平面与平面垂直的性质定理 b 文字语言：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简述为： 面面垂直 线面垂直 符号语言： 学习新知 图形语言 例1：P162练习2改编（多选）．在互相垂直的两个平面中，下列命题中不正确是     （） A.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； B.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； C.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； D.过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 定理透彻理解 答案：ACD 例2. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD 是正三角形且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E是PD的中点. 求证：平面ACE⊥平面PCD； 解： （1）∵ △PAD是正三角形， ∴ AE⊥PD . 又平面PAD⊥平面ABCD , 且ABCD是矩形, CD⊥AD , ∴ CD⊥AE . ∴ AE⊥平面PCD. ∴ 平面ACE⊥平面PCD . E为PD的中点， ∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理） （面面垂直的判定定理） A B C D P E 思考:教材P160探究：设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线l，直线l与平面α具有什么位置关系? l l 直线l在平面α内 β α P β α P 新知探究 再思考： 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，是否在第一个平面内？ l b β α c P β α l b c P 证明(同一法)：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β． 因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直， 所以直线l应与直线b重合． 性质推论 证明：设 b α β a l 在α内作直线b⊥l 面面垂直性质 线面垂直性质 结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）. 探究教材P160例9 课本P163练习10：对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么直线l与平面γ的位置关系如何？为什么？ α β γ l a b 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面。 深度学习探究 在γ内过A点作直线 a ⊥n， 证：设 在γ内过A点作直线 b⊥m， 同理 在γ内任取一点A（不在m,n上）， a b α β l γ n m A 探究证明： 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= l,求证： l⊥γ. 课堂小结 2.数学思想：化归与转化 面面垂直 线面垂直 线线垂直 ◆面面垂直的其他性质 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. 如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. ◆面面垂直性质定理的三个作用 （1）证明直线与平面垂直；（2）证明直线与直线平行； （3）作平面的垂线. $