1.4.1 空间中直线、平面的垂直第3课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1　第3课时　空间中直线、平面的垂直 学习目标： 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系. 学习重点：线线、线面、面面间的垂直关系的判定． 学习难点：证明线面垂直问题的方法. 在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的关系；那么，直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢？ 引入课题 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量， 则l1⊥l1⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 知识点一：　线线垂直的向量表示 走进教材 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α， 则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点二：线面垂直的向量表示 走进教材 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量， 则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 知识点三：面面垂直的向量表示 走进教材 例1.在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，点E是SB的中点，且底面ABCD 是正方形，SD=AB，在线段SD上是否存在一点F，使AE⊥CF？ D B A C S E F x y z 解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 假设在线段SD上存在一点F，使AE⊥CF， 设SD=AB=1，则F(0，0，z)，C(0，1，0)， ∴=(0，-1，z)又S(0，0，1)，B(1，1，0)， ∴E(， )， 典例分析 由A(1，0，0)得=() ， ∵AE⊥CF，即⊥， ∴ =，解得z=1. 即F(0，0，1)与S重合，故在线段SD上存在点F(0，0，1)， 使AE⊥CF. 典例分析 例2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1B、DC的中点， 求证：AE⊥平面A1D1F. D1 D A B C A1 B1 C1 z y x F E 证明：设正方体的棱长为2， 如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，E(2，2，1)， A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，F(0，1，0). 典例分析 ∴＝(0，2，1)，＝(－2，0，0)， ＝(0，1，-2)， ∴· ＝0×(－2)＋2×0＋1×0＝0， · ＝1－1＝0， 典例分析 ∴⊥，⊥. 即AE⊥A1D1，AE⊥D1F， 又A1D1∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面A1D1F. 例3.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1. D A1 A B1 B C C1 z y x 证明：如图，建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)， A1(0，0，)，C1(0，1，)， ∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1，1，0)， 典例分析 得＝(0，0，)，＝(1，1，0)， ＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)， 设平面A1AD的法向量为＝(x1，y1，z1)， 平面BCC1B1的法向量为＝(x2，y2，z2)． 由· =0， · =0， 得-2x2+2y2=0，-y2+z2=0. 令y2＝1，得x2＝1，z2＝， ∴＝(1，1，). ∴·＝1－1＋0＝0， ∴⊥， ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 典例分析 由· =0， · =0， 得 z1 =0， x1+y1=0， 令y1＝－1，得x1＝1，z1＝0， ∴＝(1，－1，0)． 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，|AB|＝|BC|＝2，|BB1|＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. E A1 A B1 B C C1 z y x 证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直， 以B为原点，以直线BA，BC，BB1分别 为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， E(0，0，)，＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)， 变式训练 ＝(－2，2，1)，＝(-2，0，). 设平面AA1C1C的法向量为＝(x1，y1，z1)， 则· =0， · =0 ⇒ z1=0， -2x1+2y1=0， 令x1＝1，得y1＝1，∴＝(1，1，0)．设平面AEC1的法向量为＝(x2，y2，z2)， 则· =0， · =0 ⇒ z2=4x2， -2x2+2y2+z2=0， 令x2＝1，则＝(1，－1，4)，·＝1－1＝0， 即平面AEC1⊥平面AA1C1C. 变式训练 随堂训练 1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的