1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示第1课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4 用空间向量研究直线、平面的位置关系 　1.4.1　第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 第一章 空间向量与立体几何 学习目标： 1.理解直线的方向向量与平面的法向量； 2.会求一个平面的法向量. 学习重点：平面的法向量． 学习难点：会求一个平面的法向量. 上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些立体几何问题. 引入课题 本节我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形. 为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来. 知识点一：空间中点的位置向量 走进教材 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示．我们把向量 称为点P的位置向量． O P 知识点二：空间中直线的向量表示式 走进教材 直线l的方向向量为，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋t，① 把＝代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 思考　直线的方向向量是不是唯一的？ 答案　直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． O P B A 知识点三：空间中平面的向量表示式 走进教材 平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y， 使＝＋x+y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点四：平面的法向量 给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗? 给定一点A和一个向量 过点A，与向量垂直的平面是确定的. α A 法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α， 则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α， 如果⊥α ，那么向量叫做平面α的法向量. 走进教材 一个平面有多少个法向量？ 它们是什么关系？ 如何求平面的一个法向量？ (1)设出平面的法向量=(x，y，z)； (2)取平面内两个不共线的向量 =(a1，b1，c1)，=(a2，b2，c2)； (3)由·=0，·=0 建立关于 x、y、z的方程组； (4)取方程组的一组解. 两个方程 三个未知数 非零向量 α 走进教材 例1 若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 典例分析 AB ∴ ＝(1，1，3)， 故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量． 解析　∵M，N在直线l上， 例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量． D B A C z y x S 解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段， ∴以A为原点，以、、的方向 为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系， 则A(0，0，0)，D(，0，0)，C(1，1，0)， S(0，0，1)， 典例分析 ＝(，0，0)是平面SAB的法向量， 设平面SCD的法向量＝(1，λ，u)， 则·＝(1，λ，u)·(，1，0)＝＋λ＝0， ∴λ＝－. ·＝(1，λ，u)·(－，0，1)＝－＋u＝0， 典例分析 ∴u＝， ∴＝(1，－，)． 已知点A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，求平面ABC的一个法向量． 解：设坐标原点为O， 由已知可得：＝(－a，b，0)，＝ (－a，0，c)． 设平面ABC的一个法向量为＝(x，y，z)， 则· ＝(x，y，z)·(－a，b，0)＝－ax＋by＝0， · ＝(x，y，z)·(－a，0，c)＝－ax＋cz＝0. 变式训练 于是得y＝x，z＝x. 不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab. 因此，可取＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量． 随堂练习 1.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．(1，1，－1) B．(1，－1，1) C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1) D 解析 ＝(－1，1，0)， ＝(－1，0，1)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有－x＋z＝0，－x＋y＝0， 取x＝－1，则y＝－1，z＝－1. 故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)． 随堂练习 2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面(　　) A．x