2.4.2圆的一般方程 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

2.4.2　圆的一般方程 第二章 直线和圆的方程 学习目标 学习目标 1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点) 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点) 核心素养 1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养． 问题引入 圆的一般方程 我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个二元二次方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F为常数),请问这个方程在什么条件下是一个圆的方程? 新知探索 圆的一般方程 1.圆的一般方程 一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),则圆的标准方程为 展开化简: 即 令 则 这就是圆的一般方程，满足的条件为： 新知探索 圆的一般方程 圆的标准方程为： 即： 化为标准方程： 所以必须满足： 圆的方程为 时，它的圆心： 半径为： 新知探索 圆的一般方程的说明 方程 条件 图形 x2＋y2+Dx+Ey+F=0 D2＋E2-4F<0 没有图形 D2＋E2-4F=0 表示一个点 D2＋E2-4F>0 表示圆 对方程 的说明： 新知探索 圆的一般方程的特征 思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？ 思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ 只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了． 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显． 思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？ 不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆. [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 小试身手 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　) (3)方程 表示圆心为 ，半径 为 的圆． (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 ，即 时才表示圆． 典例精析 题型一：圆的一般方程的概念 例1.若方程x2＋y2+2mx-2y＋m2+5m=0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 写成(x+m)2＋(y-1)2＝1-5m. (2)将方程x2＋y2+2mx-2y＋m2+5m=0 解：(1)据题意知 即 解得： 故m的取值范围为 故圆心坐标为(－m,1)，半径 规律方法 题型一：圆的一般方程的判断 形如 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： 1．由圆的一般方程的定义令 ，成立则表示圆，否则不表示圆． 2．将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 典例精析 题型二：求圆的一般方程 例2 .圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程． 解：设所求圆的方程为 ∵圆过A(1,2)，B(3,4)， ∴D＋2E＋F＝－5，① 3D＋4E＋F＝－25.② 令y＝0，得 设圆C与x轴的两个交点的横坐标为 则 即D2－4F＝36.③ 由 ①②③得D＝12，E＝－22，F＝27， 或D＝－8，E＝－2，F＝7. 故所求圆的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或x2＋y2－8x－2y＋7＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程 1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r； 2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 题型二：待定系数法求圆的方程 典例精析 例3 .过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交