2.3.2 两点间的距离公式 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

2.3.2 两点间的距离公式 第二章 直线和圆的方程 学习目标 学习目标 1.掌握两点间距离公式并会应用. 2.用坐标法证明简单的平面几何问题. 核心素养 1.掌握平面上两点间的距离公式.(数学抽象) 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.(数学建模) 问题引入 在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便两村人民的出行.如何选址能使站点到两个村的距离之和最小? 新知探索 两点间距离特殊情况 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢? P1(x1,y1) P2(x2,y2) P2(x2,y2) x y O (1) x1≠x2, y1=y2 (2) x1 = x2, y1 ≠ y2 新知探索 两点间距离公式 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢? (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 特别地,原点O与任一点P(x,y)的距离： Q (x2,y1) y x O P1 P2 (x1,y1) (x2,y2) 新知探索 向量法求两点间距离公式 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 、P2的距离| P1 P2 |呢? y x o P1 P2 (x1,y1) (x2,y2) 小试身手 [答案]　(1)×　(2)× (3)× 1.点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(　　) 2.当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.(　　) 3.点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.(　　) 典例精析 题型一：两点间距离 例1.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状. ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 解：法一 典例精析 题型一：两点间距离 例1.如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状. 解：法二 ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. ∴|AC|＝|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 规律方法 求两点间距离的方法 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 典例精析 题型二：坐标法解决平面几何问题 例2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2). 证明:设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0). 因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2， |AD|2＝b2＋c2， |DC|2＝a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2). 典例精析 题型三：坐标法的应用 例3 .在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 ＝________. 解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)， 所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2， 于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2， 答案：10 规律方法 题型二：坐标法解几何问题 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系. 跟踪练习 1.直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是____. 解析：　令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝5. 答案：5 跟踪练习 2.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________. 解析：由两点间距离公式得 (－2－a)2＋(－1－3)2＝52， 所以(a＋2)2＝32， 所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5. 答案： 1或－5 跟踪练习 3.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交