1.2空间向量基本定理的初步应用第2课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

1.2 空间向量基本定理 §1.2　第2课时　空间向量基本定理的初步应用 第一章 空间向量与立体几何 学习目标： 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想． 学习重点：空间向量的正交分解. 学习难点：空间向量的正交分解.利用空间向量基本定理解决立体几何问题． 知识点一　证明平行、共线、共面问题 思考　怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？ 走进教材 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 答案　几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围． 知识点二　空间向量的正交分解 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 走进教材 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 题型一：利用数量积求角 例1 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=，AB=AC=AA1， 求异面直线A1B与AC1所成的角. C1 C A B A1 B1 解 设AB=AC=AA1=1， ∵=-，=+ ∴·=(-)·(+) =·+·-·-2 =0+0-0-1=-1， 又||=| |=， ∴cos<，> ==， ∴所求角为60°. 与所成的角 为负值，取补角 均为垂直关系 典例分析 题型二：利用数量积求两点间的距离 例2 已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A、D两点间的距离． α B A F D C 解 ∵＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2 ＋2 ·＋2 ·＋2 ·，　　① 几何条件 化为向量关系 典例分析 ∵AB＝BC＝CD＝2， ∴||＝||＝||＝2 ， ② 又∵AB⊥α，BC⊂α， ∴AB⊥BC. ∴ ·＝0 ， ③ ∵CD⊥BC， ∴ ·＝0 ， ④ 把②③④代入①可得 ||2＝4＋4＋4＋2 · ＝12＋2||·||cos〈，〉 ＝12＋8cos〈，〉， ⑤ 由∠DCF＝30°，从而∠CDF＝60°. 又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF. ∴〈，〉＝〈，〉＝60°. 典例分析 ∴〈，〉＝120°.代入⑤式得到 ||2＝12＋8cos 120°＝12－4＝8. ∴||＝2. 即A、D两点间的距离为2. 典例分析 解：∵＝＋＝＋ (＋) ＝ ＋ [(－)＋(－)] ＝－ ＋＋ ， ∴2＝2＋2＋2-2××· ＋2××·-2××· ， 如图所示，在空间四边形OABC中，OA、OB、OC两两成60°， 且OA＝OB＝OC＝2，E为OA中点，F为BC中点，求E、F间的距离． C O A B F E 变式训练 ＝×4＋×4＋×4－ ×2×2·cos60° ＋ ×2×2×cos60°－×2×2·cos60° ＝2， ∴EF＝||＝. 变式训练 例3.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点． 求证：AB1⊥BM. C1 C A B A1 B1 M 证明：不妨设棱长为2， 则＝－，＝＋. ∴ · ＝(－)·(＋) ＝ · +2· =0＋2－2×2×0=0， ∴AB1⊥BM. 题型三：利用数量积证明垂直关系 典例分析 随堂练习 1.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 B 随堂练习 B 2.如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝ ，则SC与AB所成角的大小为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° S A B B 空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可用于解决很多立体几何问题： (1)求空间中两点间的距离或线段长度， 可以理解为求