1.2 空间向量基本定理第1课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

1.2 空间向量基本定理 §1.2　第1课时　空间向量基本定理 第一章 空间向量与立体几何 学习目标： 1.掌握空间向量基本定理； 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解. 学习重点：空间向量基本定理． 学习难点：空间向量的正交分解. 知识点一　空间向量基本定理 思考　零向量能否作为基向量？ 走进教材 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 答案　不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面． 知识点二　空间向量的正交分解 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 走进教材 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 题型一：利用数量积求角 例1 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=，AB=AC=AA1， 求异面直线A1B与AC1所成的角. C1 C A B A1 B1 解：设AB=AC=AA1=1， ∵=-，=+ ∴·=(-)·(+) =·+·-·-2 =0+0-0-1=-1， 又||=| |=， ∴cos<，> ==， ∴所求角为60°. 与所成的角 为负值，取补角 均为垂直关系 典例分析 题型二：利用数量积求两点间的距离 例2 已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A、D两点间的距离． α B A F D C 解：∵＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2 ＋2 ·＋2 ·＋2 ·，　　① 几何条件 化为向量关系 典例分析 ∵AB＝BC＝CD＝2， ∴||＝||＝||＝2 ， ② 又∵AB⊥α，BC⊂α， ∴AB⊥BC. ∴ ·＝0 ， ③ ∵CD⊥BC， ∴ ·＝0 ， ④ 把②③④代入①可得 ||2＝4＋4＋4＋2 · ＝12＋2||·||cos〈，〉 ＝12＋8cos〈，〉， ⑤ 由∠DCF＝30°，从而∠CDF＝60°. 又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF. ∴〈，〉＝〈，〉＝60°. 典例分析 ∴〈，〉＝120°.代入⑤式得到 ||2＝12＋8cos 120°＝12－4＝8. ∴||＝2. 即A、D两点间的距离为2. 典例分析 解：∵＝＋＝＋ (＋) ＝ ＋ [(－)＋(－)] ＝－ ＋＋ ， ∴2＝2＋2＋2-2××· ＋2××·-2××· ， 1.如图所示，在空间四边形OABC中，OA、OB、OC两两成60°，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA中点，F为BC中点，求E、F间的距离． C O A B F E 变式训练 ＝×4＋×4＋×4－ ×2×2·cos60° ＋ ×2×2×cos60°－×2×2·cos60° ＝2， ∴EF＝||＝. 变式训练 题型三：利用数量积证明垂直关系 例3 在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB. C S A B 解：由已知＝＋， ＝＋， 则·=(＋)·(＋) = 2+·+·+0 = ·() =·() =·=0， ∴SC⊥AB. 典例分析 2.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点． 求证：AB1⊥BM. C1 C A B A1 B1 M 证明：不妨设棱长为2， 则＝－，＝＋. ∴ · ＝(－)·(＋) ＝ · +2· =0＋2－2×2×0=0， ∴AB1⊥BM. 变式训练 随堂练习 1.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 B 随堂练习 2．下列结论错误的是(　　) A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 . B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 . C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底 . D．若 ， ， 不能构成空间的一个基底，则O，A，