5.3 简单的轴对称图形-【高分突破系列】2022-2023学年七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义（北师大版）

5.3 简单的轴对称图形 等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 线段、角的轴对称性 1）线段的轴对称性： ①线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。 ②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2）角的轴对称性： ①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。 ②角平分线上的点到角的两边距离相等。 ③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合   【题型一】考查等腰三角形的性质 【典题】如图，在中，直线是的垂直平分线，且分别交，于点，，连接，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 巩固练习 1．（）等腰的一个内角为40°，则另外两个角为（　　） A．40°，40° B．100°，40° C．70°，70° D．70°，70°或100°，40° 【答案】D 【分析】分40°角为顶角和底角两种情况利用三角形内角和定理求解即可 【详解】解：若40°角为顶角，则另处两个角是底角为，； 若40°角为底角，则另外两个角为，40°； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．（）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（    ） A．10 B．13 C．13或17 D．17 【答案】D 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边， 所以这个三角形的周长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 3．（）如图，中，，，AD是BC边上的中线，BE平分交AC于点E．交AD于点F．则的度数为（    ） A．80° B．100° C．110° D．120° 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得的度数，再根据角平分线算出的度数，再由“三线合一”的性质得的度数，最后根据三角形的外角和性质求解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，是上的中线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的外角和性质是解题的关键． 4．（）如图，中，，把沿翻折，使点落在的位置，则关于线段的说法，最恰当是（    ） A．是中边上的中线 B．是中边上的高 C．是中的角平分线 D．以上都对 【答案】D 【分析】根据折叠的性质得到，BC＝DC，AB＝AD，即AC垂直平分BD，利用等腰三角形的三线合一即可得到线段AC是△ABD中BD边上的中线，是∠BAD的角平分线；根据三角形高线的定义得到线段AC是△ACD中CD边上的高． 【详解】解：∵，△ABC沿AC翻折，点B落在D的位置， ∴，BC＝DC，AB＝AD， ∴线段AC是△ABD中BD边上的中线，是∠BAD的角平分线；线段AC是△ACD中CD边上的高． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质以及三角形的高线、中线和角平分线． 【题型二】利用垂直平分线的性质进行计算 【典题】如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（    ）