假期作业7 正态分布-【快乐假期】2023高二数学暑假小作业（新教材）

　　　　７．正态分布　　　　　　　　　　 １．连续型随机变量 现实中,有大量问题中的随机变量不是离散 型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整 个实轴,但取一点的概率为　　,我们称这 类随机变量为连续型随机变量． ２．正态分布 (１)正态密度函数,刻画随机误差的函数f(x)＝ 　　　　,x∈R,其中μ∈R,σ＞０为参数． 对任意的x∈R,f(x)＞０,它的图象在x轴的 　　　　, x轴和曲线之间的区域为面积　　,我们 称f(x)为正态密度函数． (２)正态密度曲线:正态密度函数的图象为 　　　　,简称正态曲线． (３)正态分布:①定义:若随机变量 X 的概率 密度函数为f(x),则称随机变量X 服从正 态分布; ②记作:X~N(μ,σ ２); ③特例:当μ＝０,σ＝１时,称随机变量 X 服从　　　　． ３．正态曲线的特点 由X 的密度函数及图象可以发现,正态曲 线有以下特点: (１)曲线是单峰的,它关于直线　　　　对称． (２)曲线在x＝μ处达到峰值　　　　． (３)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴． (４)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;曲线与 x轴之间的区域的面积为　　　　　　． ４．四个常用的概率值 假设X~N(μ,σ ２),可以证明:对给定的k∈ N∗ ,P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)是一个只与k有 关的定值．特别地, P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈０．６８２７, P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)≈０．９５４５, P(μ－３σ≤X≤μ＋３σ)≈０．９９７３． 上述结果可用下图表示． １．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正 态分布N(μ,σ ２),在一次正常的试验中,取 １０００个零件,不属于(μ－３σ,μ＋３σ)这个尺 寸范围的零件个数可能为 (　　) A．７ B．１０ C．３ D．６ ２．已知随机变量X 服从正态分布N(３,σ２),则 P(X≤３)＝ (　　) A．１５ B． １ ４ C． １ ３ D． １ ２ ３．甲、乙两类水果的质量 (单位:kg)分别服从正 态 分 布 N(μ１,σ ２ １), N(μ２,σ ２ ２),正态曲线如图所示,则下列说法 错误的是 (　　) A．甲类水果的平均质量为０．４kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集 中于平均质量 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均 质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 σ２＝１．９９ ４．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,６)某物理量的测量结 果服从正态分布 N(１０,σ２),下列结论中不 正确的是 (　　) A．σ越小,该物理量在一次测量中在(９．９, １０．１)的概率越大 B．σ越小,该物理量在一次测量中大于１０的概 率为０．５ C．σ越小,该物理量在一次测量中小于９．９９ 与大于１０．０１的概率相等 D．σ 越 小,该 物 理 量 在 一 次 测 量 中 落 在 (９．９,１０．２)与落在(１０,１０．３)的概率相等 ５．(多选)下列可以作为正态分布概率密度函数 的是(其中μ∈(－∞,＋∞),σ＞０) (　　) A．f(x)＝ １ ２π􀅰σ e－ (x－μ) ２ ２σ２ B．f(x)＝ １ ２π e－ (x－σ)２ ４ C．f(x)＝ １ ２􀅰 ２π e－ x２ ４ D．f(x)＝１ π e－(x－μ) ２ ６．(多 选)已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N(μ,σ ２),其正态曲线在(－∞,８０)上是增 函数,在(８０,＋∞)上为减函数,且P(７２＜ X≤８８)＝０．６８２７,则 (　　) A．μ＝８０ B．σ＝４ C．P(X＞６４)＝０．９７７２５ D．P(６４＜X≤７２)＝０．１３５９ ７．(２０２２􀅰新高考Ⅱ,１３)已知随机变量 X 服 从正态分布N(２,σ２),且P(２＜X≤２．５)＝ ０．３６,则P(X＞２．５)＝　　　　． ８．设离散型随机变量ξ~N(０,１),则P(ξ≤０)＝ 　　　　;P(－２＜ξ＜２)＝　　　　． ９．设X~N(１,４),试求: (１)P(－１≤X≤３); (２)P(－１≤X≤１); (３)P(３≤X≤５); (４)P(X＞５)． 􀪋 􀪋