1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

1.1.2 空间向量的数量积运算 第一章 空间向量与立体几何 学习目标： 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律． 2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题. 学习重点：空间向量数量积的概念和运算． 学习难点：空间向量数量积的应用. 如果〈，〉＝，那么向量， ，记作 . 1．空间向量的夹角 定义 图示 记法 范围 已知两非零向量、，在空间中任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量， 的夹角       ∠AOB 〈〉 [0，π] 互相垂直 ⊥ 走进教材 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量，，则||·||·cos〈，〉 叫做， 的数量积，记作·. 运 算 律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λ)·＝ . 交换律 ·＝ . 分配律 ·(＋)＝ . λ(·) · ·＋· 走进教材 走进教材 思考 　向量的数量积运算是否满足结合律？ 答案　不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 两个 向量 数量 积的 性质 应用 (1)若，是非零向量，则⊥⇔·＝0. (2)若与同向，则·＝||·||； 若反向，则·＝－||·||. 特别地：·＝||2. (3)若θ为，的夹角，则cos θ＝. (4)|·|≤||·||. (1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直. 走进教材 典例分析 例1：已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 　A 解析　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1， ∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q) ＝3p2＋p·q－2q2 ＝3＋0－2 ＝1. 典例分析 例2：如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. P D C B A 证明　在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 由余弦定理得，BD＝AD， 所以AD2＋BD2＝AB2， 所以DA⊥BD，则 . 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则 . 又 ， 所以 . 即PA⊥BD. 若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________. 变式训练 解析　|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2 ∴|a－b＋2c|＝ . ＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c ＝5. 随堂练习 1.已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. B 2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则 与 所成角的大小为________， ＝________. 随堂练习 60° 1 课堂小结 1．知识清单： (1)空间向量的夹角、投影． (2)空间向量数量积、性质及运算律． 3．常见误区：空间向量的数量积的三点注意 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 2．方法归纳：化归转化． 快乐学习 成就梦想 13 $