1.1.1共线向量与共面向量第2课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

1.1.1 空间向量及其运算 1.1.1　第2课时　共线向量与共面向量 第一章 空间向量与立体几何 学习目标： 1.理解并掌握空间向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握共线向量和共面向量的判定定理及判定方法. 学习重点：共线向量和共面向量的判定及应用. 学习难点：共线向量和共面向量的判定方法及应用. 数乘运算的概念 运算律 λ 方向 大小 当λ>0时，λ与向量的方向相同 当λ<0时，λ与向量的方向相反 |λ|=|λ|·|| 分配律： λ()= λ 结合律：λ(μ)= (λμ λ>0 λ<0 复习引入 知识点一：共线向量 规定：零向量与任意向量共线. 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在直线 互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量 (或平行向量),记作∥. 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量， (≠)， ∥的充要条件是存在实数λ使= λ. 推论:如果l为经过已知点A 且平行已知非零向量的直线 , 那么对任一点O, 点P在直线l上的充要条件 是存在实数t , 满足等式=+t , 其中叫做直线l的方向向量. 学习新知 探究点：三点共线 如何利用共线向量定理判定三点共线？ A C B O ， A、B、C三点共线 ⇔ (其中O为空间中任意一点， 且x+y=1) 特别有： 当B为线段AC的中点时， . 探究新知 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点， F、G分别是CB、CD上的点，且， . 利用向量法证明四边形EFGH是梯形． [思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG. 即证∥，且||≠||. 利用BD构建EH与FG的关系 典例分析 ∵E、H分别是边AB、AD的中点， ∴ ， ， ＝＝ 证明： 典例分析 ＝ ＝ ＝ ＝， ∴∥，且||≠||， 又F不在EH上， ∴四边形EFGH是梯形． 1.设两非零向量、不共线，＝＋， ＝2＋8， ＝3(－)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由． 解 ∵ ＝＋＝(2＋8)＋3(－) ＝5(+)， ∴ ＝5 ， 又∵B为两向量的公共点， ∴A、B、D三点共线． 跟踪训练 知识点二：共面向量 共面向量 : 平行于同一平面的向量 , 叫做共面向量. 说明：空间任意两个向量都是共面向量， 但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的. 想一想，为什么？ 学习新知 探究点：共面向量定理 1.若与为不共线的两个向量， 、 、 共面， 能被 、 唯一表示吗？ 想一想，为什么？ 2.若存在唯一有序实数对(x , y)， 使， 则 、 、 共面吗？ 平行四边形的对角线 三个向量共面 共面向量定理： 如果两个向量 、 不共线，则 向量与 、 共面的充要条件是 : 存在唯一的有序 实数对(x , y)使 . 探究新知 知识点三：四点共面 类似于共线向量定理可以判定三点共线， 利用共面向量定理怎样判定四点共面？ 系数和等于1 A P C B O ) P、A、B、C四点共面 ⇔ (其中O为空间中任意一点， 且x+y+z=1) 学习新知 例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA 的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R， 并顺次连结MN，NQ，QR，RM. 应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面． [思路探索]只需找到， ， 的线性关系 . 典例分析 顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形， 且有，，，. ∵MNQR为平行四边形，∴ 典例分析 ∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心， ∴M、N、Q、R为所在边的中点， 证明 ＝－＝＝(＋) ＝()＋ () ＝ () ＋ () ＝.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面. 2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 ＝k， ＝k， ＝k， ＝k＝k， 求证：(1)四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC. 证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以 + ， ＝ k－ k 跟踪训练 所以E、F、G、H共面． ＝ k＝k(+ )＝k(+ ) ＝ + ＝ + . 2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 ＝k， ＝k， ＝k， ＝k＝k， 求证：(1)四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC. 证明：(2) ＝＝k()＝k， 且由第(1)问的证明中知＝k， 于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A， 所以平面EG∥平面AC. 跟踪训练 随堂练