2023中考数学高频考点突破：抛物线之直角三角形问题

2023中考数学高频考点突破：抛物线之直角三角形问题 1．如图，抛物线与轴交于点和． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．抛物线上另有一点C在第一象限，且满足，． (1)求A，B两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴； (2)求线段BC的长； (3)探究在对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在．请说明理由． 3．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点且，将绕点按逆时针方向旋转，点恰好与重合． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点为线段上的任一动点，过点作，交于点，连结，求面积的最大值； (3)对称轴上是否存在一点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中中，已知抛物线L：和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由； (4)若抛物线L与线段只有一个交点．请结合函数图象，直接写出m的取值范围________． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点D是点C关于原点的对称点，连接，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为，过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点E在线段上运动时，直线l交于点Q，当四边形是平行四边形时，求m的值； (3)是否存在点P，使是不以为斜边的直角三角形？如果存在请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求与之间的关系，并求出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)若以，，为顶点的三角形是直角三角形，求的值； (3)在（2）的条件下，过点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点，（点位于点主侧），探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； (2)连接，若点在线段上运动（不与点重合），过点作轴于点，对称轴交轴于点．设，当为何值时，与的面积之和最小？ (3)将抛物线在轴左侧的部分沿轴翻折，保留其他部分得到新的图象，在图象上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，直线经过点、，已知点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图1，连接，，，若是直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 9．平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 10．如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点是二次函数图象的顶点，是轴下方线段上一点与端点不重合，过点分别作轴的垂线和平行线，垂足为，平行线交直线于点． (1)若反比例函数的图象正好过点，求的值； (2)求当面积最大时，点的坐标； (3)如图2，将二次函数关于轴对称得到新抛物线，的顶点为，再将沿直线的方向平移得到新抛物线，的顶点为．在平移过程中，是否存在一个合适的位置，使得是一个直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图①，抛物线过，两点，过点B作直线轴，交x轴于点H，P是第一象限抛物线上一个动点，其横坐标是n． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在点E，使？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，如图②，若点M在直线上，点N在x轴上，当以点P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒