第10章 第5节 离散型随机变量的分布列及数字特征（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　离散型随机变量的分布列及数字特征 通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).) 知识梳理 1.离散型随机变量的分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.也可以用表格表示如下： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (2)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验. (3)两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示， X 0 1 P 1－p p 称X服从两点分布或0－1分布. 2.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望. (2)方差：我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). (3)均值与方差的性质： ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②D(aX＋b)＝a2D(X). 学霸笔记 1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. 2.E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. 3.E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加. 进阶诊断 1.判断正误 (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　√　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.(　√　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.(　√　) 2.(选择性必修第三册·P61T4改编)某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为 X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中8环或以上环数为合格，那么他一次射击成绩合格的概率是(　D　) A．0.35 B．0.20 C．0.55 D．0.80 3.(选择性必修第三册·P66T1改编)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则E(2X＋3)＝8.6. 4.(选择性必修第三册·P90T4改编)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示. X 0 1 2 P 0.64 1－2q q2 则(1)常数q＝0.4； (2)E(X)＝0.52. 5.某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为，，，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记ξ为该学生取得A等级的课程数，则ξ的数学期望E(ξ)的值为. 　离散型随机变量的分布列及性质 自主练通 1.(多选)已知随机变量X的分布列如下，且E(X)＝2，则下列说法正确的是(　BC　) X 1 2 3 P m n A．m＝，n＝ B．m＝，n＝ C．D(X)＝ D．D(X)＝ 2.随机变量X的分布列为 X 0 1 m P n 且E(X)＝1.1，则D(X)＝0.49. 3.已知X的分布列如下： X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝4. 方　法　规　律 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. (2)巧用性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X). 　求离散型随机变量的均值与方差 讲练融通 5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为x，y，记ξ＝x＋y. (1)求P(ξ＝4)； (2)求随机变量ξ的分布列和数学期望. 解：(1)从盒中摸出球的基本事件总数为C＝10，ξ＝4的事件数有CC＋C＝3，故P(ξ＝4