第10章 第4节 事件的独立性、条件概率与全概率公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　事件的独立性、条件概率与全概率公式 1　了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型，利用独立性计算概率. 2　了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 3　了解条件概率与独立性的关系. 4　会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率. 知识梳理 1.事件的相互独立性 (1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. (2)性质：如果事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立. 2.条件概率 (1)定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，称为概率的乘法公式. (3)性质：设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③如果和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 3.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，称为全概率公式. 学霸笔记 1.易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 2.条件概率中P(B|A)与P(A|B)不是一回事.P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率. 3.利用全概率公式解题 通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，B是n个车间生产的次品；若A是“某种疾病”，B是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，B有几种方式或几个人打中. (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生. (2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和. (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合. 进阶诊断 1.判断正误 (1)相互独立事件就是互斥事件.(　×　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立.(　×　) (3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率.(　√　) (4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　√　) 2.(必修第二册·P250T1改编)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(　C　) A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 3.(必修第二册·P250习题T4改编)甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则 (1)恰有一人成功破译的概率为； (2)密码没有被破译的概率为. 4.(选择性必修第三册·P48例3改编)银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，只记得是偶数，则不超过3次就按对的概率为. 5.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲、乙同时解出的概率为0.48，则该题被解出的概率为0.92. 　相互独立事件的概率 自主练通 1.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1，2，3元).甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为(　B　) A．0.18 B．0.3 C．0.24 D．0.36 解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3，0.4.所以甲、乙两人租车费用相同的概率为P＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3. 2.计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格相互之间没有影响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为. 解析：甲获得“合格证书”的概率为×＝，乙获得“合格证书”的概率是×＝，两人中恰有一人获得“合格证书”的概率是×(1－)＋(1－)×＝. 3.(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.