第10章 第3节 随机事件的概率与古典概型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　随机事件的概率与古典概型 1　理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 2　了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 3　理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则. 4　会用频率估计概率. 5　理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 知识梳理 1.随机事件、必然事件与不可能事件 (1)一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 2.概率与频率 (1)随机事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)频率的稳定性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 随机事件A发生的频率与概率的区别与联系 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近. 3.事件的关系和运算 (1)事件的关系 包含关系 相等关系 定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 符号 B⊇A(或A⊆B) A＝B 图示 (2)交事件与并事件 并事件(或和事件) 交事件(或积事件) 定义 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 符号 A∪B(或A＋B) A∩B(或AB) 图示 (3)互斥事件与对立事件 互斥事件 对立事件 定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 符号 A∩B＝∅ A∪B＝Ω，A∩B＝∅ 图示 随机事件A，B互斥与对立的区别与联系 当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥. 4.概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 5.古典概型 具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (1)一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性. (2)一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. (3)古典概型的概率公式：P(A)＝. 学霸笔记 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计算公式 频率计算中的k，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一个比值