第10章 第1节 两个计数原理、排列与组合（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　两个计数原理、排列与组合 1　通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2　通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 知识梳理 1.两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 两个计数原理的区别 分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 2.排列与组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 作为一组 排列问题和组合问题的区别：元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. 3.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C 排列数与组合数公式之间的联系为CA＝A. 学霸笔记 1.易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关. 2.计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m). 3.易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数. 进阶诊断 1.判断正误 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　×　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　√　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　×　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　√　) (5)若C＝C，则x＝m成立.(　×　) 2.(选择性必修第三册·P11T5改编)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，不同的取法种数是(　D　) A．5 B．6 C．11 D．30 3.(选择性必修第三册·P12T8(1)改编)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是(　D　) A．24 B．48 C．64 D．81 4.(选择性必修第三册·P20T3改编)一个停车场有8个停车位，如果每个车位只能停放1辆汽车，现要停放4辆不同的汽车，不同停放方法的种数为(　C　) A．70 B．1 440 C．1 680 D．1 880 5.(选择性必修第三册·P25T3改编)有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩.若物理和化学至少有1门被选，则不同选法的种数为(　C　) A．12 B．14 C．16 D．18 6.(选择性必修第三册·P11习题T4改编)用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成16个不同的分数，可构成6个不同的假分数. 7.(选择性必修第三册·P26T5改编)一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上. (1)若要选其中的4本书放在书架上，且这4本书不是同一类书，则有11 736种不同的放法； (2)若要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则有103 680种不同的放法. 　两个计数原理的应用 自主练通 1.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　C　) A．250个 B．249个 C．48个 D．24个 解析：分两类：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个).由分类加法计数原理，得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个). 2.某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖.则他获得奖次的不同情形种数为(　C　) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐