第10章 专题6 高考中的统计概率问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

专题六　高考中的统计概率问题 题型一　概率与频率分布直方图的交汇 某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图. 时间区间 [9，11) [11，13) [13，15) [15，17) [17，19) [19，21] 每单收入 (单位：元) 6 5.5 6 6.4 5.5 6.5 (1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入； (2)这个外卖小哥记得在[13，15)这个时间段只有4单外卖带有饮品，现在从[13，15)这个时间段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望. 思维 导引 学科素养 本题主要考查数据分析、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)先求出a的值，再求各时间段送外卖的频数，进而得总收入； (2)先确定X的值，再求其概率后写出分布列及数学期望 解：(1)由频率分布直方图得2a＝1－2×(0.05×2＋0.08×2＋0.14)＝0.2，解得a＝0.1. 又∵样本容量n＝50，∴在[9，11)这个时间段送外卖的频数为0.08×2×50＝8， 同理可求得[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]这5个时间段送外卖的频数分别为14，10，5，8，5. ∴外卖小哥送50单的收入为8×6＋14×5.5＋10×6＋5×6.4＋8×5.5＋5×6.5＝293.5(元). (2)由(1)知，在[13，15)这个时间段共送10单外卖，10单外卖中有4单带饮品，6单不带饮品， X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 方　法　规　律 频率分布直方图、条形图等是考查数据收集和整理的常用依据，掌握图中常见数据的提取方法，将频率看作概率是解决这类问题的关键. 练1　某学校6月份定为安全教育宣传月，6月底进行安全教育测试，试卷满分为120分，随机抽取了100名学生的试卷进行研究，得到成绩(单位：分)的范围是[60，120]，根据统计数据得到如下频率分布直方图. (1)求m的值； (2)估计该校安全教育测试成绩的中位数(精确到小数点后两位)； (3)已知成绩在[90，100)赋给1颗星，[100，110)赋给2颗星，[110，120]赋给3颗星，将频率视作概率，若甲、乙两位同学参赛且相互不影响，求两人一共得4颗星的概率. 解：(1)由(0.006＋0.014＋2m＋0.020＋0.028)×10＝1得m＝0.016. (2)第一、二、三组的频率分别为0.16，0.16，0.28， 设中位数为x，则0.16＋0.16＋(x－80)×0.028＝0.5，解得x≈86.43. 所以估计该校安全教育测试成绩的中位数为86.43分. (3)设甲得到“星”的颗数为X，乙得到“星”的颗数为Y. P(X＝1)＝P(Y＝1)＝0.2，P(X＝2)＝P(Y＝2)＝0.14， P(X＝3)＝P(Y＝3)＝0.06， P(X＋Y＝4)＝P(X＝1且Y＝3)＋P(X＝2且Y＝2)＋P(X＝3且Y＝1) ＝0.2×0.06＋0.14×0.14＋0.06×0.2＝0.043 6， 故甲、乙两位同学一共得4颗星的概率为0.043 6. 题型二　概率与独立性检验的交汇 为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图所示. (1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 外科疗法 化学疗法 18 合计 100 (2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关. 附：χ2＝(如需计算χ2，结果精确到0.001). χ2独立性检验中常用小概率值和相应的临界值表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)根据等高堆积条形图，可知采用化学疗法的治愈率为30%， 由列联表得化学疗法治愈的有18人，故采用化学疗法的共有18÷30%＝60(人)，未治愈的有60－18＝42(人)， 采用外科疗法的有40人，其中治愈的有40×50%＝