第6章 第2节 等差数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　等差数列

1　通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2　探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.

3　能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4　体会等差数列与一元一次函数的关系.

知识梳理

1.等差数列的定义式：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*).

2.等差中项

(1)定义：a，A，b成等差数列，A叫a，b的等差中项.

(2)公式：a，A，b成等差数列⇔A＝.

(3)性质：{an}是等差数列⇒2an＋1＝an＋an＋2或2an＝an＋m＋an－m(n>m，n∈N*，m∈N*).

3.通项公式及其推广式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)推广式：an＝am＋(n－m)d.

推广式的变形：d＝.

(3)an＝pn＋q(p，q是常数)(即an是n的一次函数).

4.前n项和公式

Sn＝na1＋d或Sn＝.

5.等差数列与函数的关系

(1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点.

注：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

(2)前n项和公式可变形为Sn＝n2＋(a1－)n，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋(a1－)x上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点.

学霸笔记

1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

2.若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

3.若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.

4.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

5.若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

6.若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m，…分别为{an}的前m项和、前2m项和、前3m项和、…，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列.

7.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.

(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，

S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.

8.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

9.等差数列有关公式与函数的关系

(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式.当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列.

(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

进阶诊断

1.判断正误

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　×　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　√　)

(3)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列.(　×　)

(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(　√　)

(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数.(　×　)

2.(选择性必修第二册·P24T2改编)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝(　B　)

A．－1  B．1

C．6  D．65

3.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　ABD　)

A．d<0

B．a7＝0

C．S9>S5

D．S6与S7均为Sn的最大值

4.(选择性必修第二册·P55T3(2)改编)《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为.

5.(选择性必修第二册·P21例7改编)已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220.则a1＝4，d＝6.

6.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝8时，{an}的前n项和最大.

　等差数列的基本运算·········································自主练通

1.等差数列{an}前n项和为Sn，公差d＝－2，S3＝21，则a1的值为(　B　)

A．10  B．9

C．6  D．5

解析：(方法一)∵S3＝21，

∴3a1＋d＝21，∴a1＋d＝7，

∵d＝－2，∴a1＝9.

(方法二)∵S3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.

∵a1＝a2－d，∴a1＝9.

2.(2022·西南大学附中开学考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝81，则a2＋a5＋a8＝(　B　)

A．26  B．27

C．28  D．29

解析：由题可知，等差数列{an}的前9项和为81，则有＝81，化简可得a1＋a9＝18，又因为a1＋a9＝a2＋a8＝2a5，因此a2＋a5＋a8＝3a5＝27.

3.已知公差不为0的等差数列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，则a10＝(　A　)

A．  B．5

C．10  D．40

解析：设数列公差为d，

则由已知得由于d≠0，故解得a1＝d＝，所以a10＝＋×9＝.

4.已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则a4－3a6的值为(　A　)

A．－6  B．6

C．－12  D．12

解析：由等差中项的性质可得a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，设等差数列{an}的公差为d，则a4－3a6＝a4－a6－2a6＝－2d－2a6＝－2(a6＋d)＝－2a7＝－6.

　等差数列的判定与证明·······································讲练融通

已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*).

(1)求证：数列{an}为等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去).

当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，

又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，

因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.

若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.

而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，

所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，

因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列.

(2)解：由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.

　若本例条件不变，且为等差数列，则非零常数λ的值为－5.