第6章 专题3 高考中的数列问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

专题三　高考中的数列问题

题型一　等差数列、等比数列基本量的运算

　数列与数学文化

1.(多选)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其意思是“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则下列说法正确的是(　AC　)

A．此人第二天走了96里路

B．此人第三天走的路程占全程的

C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

D．此人第五天和第六天共走了30里路

解析：设此人第n天走了an里路，则数列{an}是首项为a1，公比q为的等比数列，其前n项和为Sn，因为S6＝378，即S6＝＝378，解得a1＝192，an＝192·()n－1，n∈N*，n≤6，由于a2＝192×＝96，即此人第二天走了96里路，A正确；由于a3＝192×＝48，＞，B错误；后五天走的路程为378－192＝186(里)，192－186＝6(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C正确；a5＋a6＝192×＋192×＝18，D错误.

2.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(，)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　C　)

A．4  B．5

C．6  D．7

解析：第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；以此类推，第n次操作去掉2n－1个长度为的区间，长度和为，∴进行了第n次操作后，去掉区间长度和Sn＝＋＋…＋＝＝1－()n，由1－()n≥，得()n≤，

∴n≥log＝－log10＝－＝－≈5.68，

又n∈N*，∴n的最小值为6.

　等差数列、等比数列的交汇

3.已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是(　A　)

A．  B．

C．－26  D．58

解析：设公差不为零的等差数列{an}的公差为d，则有d≠0，因为a2，a8，a12依次成等比数列，a1＝1，所以有a＝a2a12，即(1＋7d)2＝(1＋d)(1＋11d)，整理得19d2＋d＝0，因为d≠0，所以d＝－，因此a4＝a1＋3d＝1－＝.

4.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.

解：(1)设数列{an}的公差为d.

由题意可知

整理得即∴an＝2n－1.

(2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36，

又S4Sn＝S，∴n2＝＝81，∴n＝9，公比q＝＝.

5.(2021·新高考卷Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)求使Sn>an成立的n的最小值.

解：(1)设公差为d，

∵S5＝5a3＝a3，∴a3＝0，∴S4＝2(a2＋a3)＝2a2.

∵a2a4＝S4，∴a2a4＝2a2.

由公差d≠0及a3＝0知a2≠0，

∴a4＝2，d＝2，则an＝a3＋2(n－3)＝2n－6.

(2)Sn＝＝＝n2－5n，

由Sn>an得n2－5n>2n－6，整理得(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6.∵n∈N*，∴n的最小值为7.

题型二　数列求和

　分组与并项求和问题

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由b2＝3，b3＝9，可得q＝＝3，

所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1.

又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以d＝＝2，

所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)×d＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)由题意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，

则数列{cn}的前n项和为[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)

＝＋＝n2＋.

　裂项相消法求和问题

在①数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，②函数f(x)＝sin πx－2cos2x＋ 的正零点从小到大构成数列{xn}，an＝xn＋，③a－an－a－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，an>0，且a1＝b2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的M存在，求出M的最小值；若M不存在，说明理由.

数列{bn}是首项为1的等比数列，bn>0，b2＋b3＝12，且________，设数列的前n项和为Tn，是否存

在M∈N*，使得对任意的n∈N*，Tn<M？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解：设公比为q(q>0)，因为数列{bn}是首项为1的等比数列，且bn>0，b2＋b3＝12，所以q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(不合题意，舍去)，所以bn＝3n－1.

选条件①，由Sn＝n2＋n，可得Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)(n≥2)，

两式相减可得an＝n＋2(n≥2)，

又a1＝S1＝3也符合上式，所以an＝n＋2，

所以＝＝(－)，

则Tn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝－(＋)，

因为＋>0，所以Tn<，

由题意得M≥，又M∈N*，所以M的最小值为1.

选条件②，f(x)＝sin πx－2cos2x＋

＝sin πx－cos πx＝2sin(πx－)，

令f(x)＝0，可得πx－＝kπ，k∈Z，解得x＝k＋，k∈Z，

即xn＝n－1＋＝n－，an＝xn＋＝n＋2，